Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
\rho=\operatorname{sen}^{2}(\theta-\varphi);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de \rho em relação a \theta e a \varphi para a função
\rho = \sin^2\bigl(\theta - \varphi\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada parcial de função composta e vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma função intermediária
u = \theta - \varphi
e escrevemos
\rho = \sin^2(u).
Assim, \rho = g(u) com g(u)=\sin^2(u).

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g'(u) = \frac{d}{du}\bigl(\sin^2(u)\bigr) = 2\,\sin(u)\,\cos(u).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial \theta} aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial \rho}{\partial \theta} = g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial \theta} = 2\,\sin(u)\,\cos(u)\cdot 1 = 2\,\sin\bigl(\theta-\varphi\bigr)\,\cos\bigl(\theta-\varphi\bigr).
Usando a identidade trigonométrica 2\sin x\cos x=\sin(2x), obtemos
\frac{\partial \rho}{\partial \theta} = \sin\!\bigl(2(\theta-\varphi)\bigr).

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial \varphi} também usamos a cadeia:
\frac{\partial \rho}{\partial \varphi} = g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial \varphi} = 2\,\sin(u)\,\cos(u)\cdot(-1) = -2\,\sin\bigl(\theta-\varphi\bigr)\,\cos\bigl(\theta-\varphi\bigr)
e, de novo usando 2\sin x\cos x=\sin(2x), segue
\frac{\partial \rho}{\partial \varphi} = -\sin\!\bigl(2(\theta-\varphi)\bigr).

Resposta

\frac{\partial \rho}{\partial \theta} = \sin\!\bigl(2(\theta-\varphi)\bigr), \qquad \frac{\partial \rho}{\partial \varphi} = -\sin\!\bigl(2(\theta-\varphi)\bigr).

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