Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y)=e^{x-y}-e^{y-x};

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^{x-y}-e^{y-x}
e pede as derivadas parciais em relação a x e a y. Vamos usar derivação de exponencial junto com a regra da cadeia, que diz que
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, derivamos cada termo em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}e^{x-y} = e^{x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y) = e^{x-y}\cdot1 = e^{x-y},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{y-x}\bigr) = -\Bigl(e^{y-x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y-x)\Bigr) = -\bigl(e^{y-x}\cdot(-1)\bigr) = e^{y-x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x-y}+e^{y-x}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, derivamos cada termo em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}e^{x-y} = e^{x-y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y) = e^{x-y}\cdot(-1) = -e^{x-y},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{y-x}\bigr) = -\Bigl(e^{y-x}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y-x)\Bigr) = -\bigl(e^{y-x}\cdot1\bigr) = -e^{y-x}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=-e^{x-y}-e^{y-x}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^{x-y}+e^{y-x} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-e^{x-y}-e^{y-x}

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