Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y)=x / y;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x}{y}
e pede todas as derivadas parciais. O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} consideramos y como constante. Podemos reescrever
f(x,y)=x\,y^{-1}.
Derivando em relação a x, a única parte que varia é x, cuja derivada é 1. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{1}{y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} consideramos x como constante e usamos a regra de potência em y^{-1}. Temos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x \,\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr) = x \cdot(-1)\,y^{-2} = -\frac{x}{y^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{x}{y^{2}}, para y\neq 0.

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