Exercício 5. Seja u \in \mathbb{R}^{n} fixado. Mostre que a função g(x)=u \cdot x=\sum_{j=1}^{n} u_{j} x_{j} é contínua em \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado fixa um vetor u=(u_{1},\dots,u_{n})\in\mathbb{R}^{n} e define
g(x)=u\cdot x=\sum_{j=1}^{n}u_{j}x_{j},\quad x=(x_{1},\dots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}.
Queremos mostrar que g é contínua em todo \mathbb{R}^{n}. Vamos usar o fato de que uma função é contínua se ela satisfaz a condição de Lipschitz local (ou global)
\bigl|g(x)-g(y)\bigr|\le L\,\|x-y\|
para algum L, o que implica continuidade.

Passo 2

Começamos calculando a diferença de g em dois pontos x,y\in\mathbb{R}^{n}:
g(x)-g(y) =\sum_{j=1}^{n}u_{j}x_{j}-\sum_{j=1}^{n}u_{j}y_{j} =\sum_{j=1}^{n}u_{j}(x_{j}-y_{j}).
Aplicando a desigualdade triangular e depois Cauchy–Schwarz, obtemos
\bigl|g(x)-g(y)\bigr| \le\sum_{j=1}^{n}\bigl|u_{j}\bigr|\;\bigl|x_{j}-y_{j}\bigr| \le\bigl\|u\bigr\|_{2}\;\bigl\|x-y\bigr\|_{2},
onde \displaystyle \|u\|_{2}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}u_{j}^{2}}
e \displaystyle \|x-y\|_{2}=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})^{2}}.

Passo 3

Da desigualdade
\bigl|g(x)-g(y)\bigr|\le\|u\|_{2}\,\|x-y\|_{2},
vemos que basta escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{\|u\|_{2}}
sempre que u\neq0. Então, se \|x-y\|_{2}<\delta, segue
\bigl|g(x)-g(y)\bigr|<\|u\|_{2}\,\delta =\varepsilon.
No caso u=0, a função g é identicamente zero, logo contínua automaticamente. Assim, em todo caso, g satisfaz a definição de continuidade.

Resposta

A função g(x)=u\cdot x é contínua em \mathbb{R}^{n}.

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