Calcule todas derivadas parciais das funções a seguir.
f(x, y, z)=z \operatorname{arctg}(y / x);

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=z\,\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Para isso usaremos a regra do produto, a regra da cadeia e a fórmula
\frac{d}{du}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^2}\,.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}. Trata­mos y e z como constantes e aplicamos a regra do produto sobre z e \arctan(y/x). Seja u(y,x)=y/x. Então
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\bigl(u\bigr) =\frac{u'}{1+u^2} \quad\text{com}\quad u'=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=-\frac{y}{x^2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =\,z\;\frac{-\,\frac{y}{x^2}}{1+\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^2} =-\,\frac{z\,y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}. De novo z é constante e aplicamos a regra da cadeia em \arctan(y/x). Aqui
u'=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\frac{1}{x},
portanto
\frac{\partial f}{\partial y} =\,z\;\frac{\frac{1}{x}}{1+\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^2} =\frac{z\,x}{x^2+y^2}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}. Agora \arctan(y/x) é visto como constante, logo
\frac{\partial f}{\partial z} =\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{z\,y}{x^2+y^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{z\,x}{x^2+y^2},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).

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