Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y+y z^{2}+x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}};

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xy+y\,z^2+x\,z^2}{x^2+y^2+z^2}.
Aqui usamos o conceito de limite em várias variáveis: se existir, deve ser o mesmo independente da trajetória de aproximação ao ponto (0,0,0). Para testar existência, vamos calcular o valor em duas trajetórias distintas.

Passo 2

Considere a trajetória (x,y,z)=(t,t,0). Nesse caso,
xy+y\,z^2+x\,z^2 = t\cdot t + t\cdot0^2 + t\cdot0^2 = t^2,
x^2+y^2+z^2 = t^2 + t^2 + 0^2 = 2t^2,
então
\frac{xy+y\,z^2+x\,z^2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{t^2}{2t^2} = \frac12.
À medida que t\to0, esse valor tende a \tfrac12.

Passo 3

Agora use a trajetória (x,y,z)=(t,0,t). Temos
xy+y\,z^2+x\,z^2 = t\cdot0 + 0\cdot t^2 + t\cdot t^2 = t^3,
x^2+y^2+z^2 = t^2 + 0^2 + t^2 = 2t^2,
então
\frac{t^3}{2t^2} = \frac t2,
que tende a 0 quando t\to0.

Passo 4

Como obtemos limites diferentes \tfrac12 e 0 em duas trajetórias, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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