Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 y^{4} \cos ^{2} x}{x^{4}+y^{4}};

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5\,y^{4}\cos^{2}x}{x^{4}+y^{4}}.
Esse tipo de limite de função de duas variáveis pode não existir se diferentes caminhos de aproximação a (0,0) darem resultados distintos.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Então
\frac{5\,y^{4}\cos^{2}x}{x^{4}+y^{4}} =\frac{5\cdot0^{4}\cos^{2}x}{x^{4}+0} =0.
Logo, ao aproximar por y=0, o valor da função tende a 0.

Passo 3

Considere o caminho x=0. Então
\frac{5\,y^{4}\cos^{2}0}{0+y^{4}} =\frac{5\,y^{4}\cdot1}{y^{4}} =5.
Logo, ao aproximar por x=0, o valor da função tende a 5.

Passo 4

Como em dois caminhos distintos obtivemos limites diferentes 0 e 5, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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