Mostre que para este sistema ser consistente as constantes a, b e c devem satisfazer c=a+b.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas (x,y,z)\):
\[\begin{cases} x + y + z = a,\\\ x + z = b,\\\\ 2x + y + 3z = c. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é o conceito de determinante de matriz quadrada: um sistema (3\times3] de coeficientes possui solução única (logo é sempre compatível) se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz de coeficientes tem posto 3. Num sistema 3\times3, posto da matriz de coeficientes igual a 3 implica que ele é sempre compatível (tem exatamente uma solução), qualquer que sejam os valores de a,b,c. Não há, pois, nenhuma condição extra sobre a,b,c para que exista solução.
Resposta
O sistema é sempre consistente para quaisquer a,b,c, pois \det(A)=-1\neq0. Portanto, a condição c=a+bnão é necessária (nem verdadeira) para a existência de solução.