Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=a \\\ x+z=b \\\\ 2 x+y+3 z=c \end{array}\right.
Mostre que para este sistema ser consistente as constantes a, b e c devem satisfazer c=a+b.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas (x,y,z)\): \[\begin{cases} x + y + z = a,\\\ x + z = b,\\\\ 2x + y + 3z = c. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é o conceito de determinante de matriz quadrada: um sistema (3\times3] de coeficientes possui solução única (logo é sempre compatível) se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) = 1\cdot(0\cdot3 - 1\cdot1) -1\cdot(1\cdot3 - 1\cdot2) +1\cdot(1\cdot1 - 0\cdot2) = (0-1)\;-\;(3-2)\;+\;(1-0) = -1 -1 +1 = -1.

Passo 3

Como \det(A)=-1\neq0, a matriz de coeficientes tem posto 3. Num sistema 3\times3, posto da matriz de coeficientes igual a 3 implica que ele é sempre compatível (tem exatamente uma solução), qualquer que sejam os valores de a,b,c. Não há, pois, nenhuma condição extra sobre a,b,c para que exista solução.

Resposta

O sistema é sempre consistente para quaisquer a,b,c, pois \det(A)=-1\neq0. Portanto, a condição c=a+b não é necessária (nem verdadeira) para a existência de solução.

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