Expresse g^{\prime}(t) em termos das derivadas parciais de f, sendo g dada por
g(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(t^{2}, 2 t\right)+5 \frac{\partial f}{\partial y}(\operatorname{sen} 3 t, t).

Passo 1

O enunciado define
g(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)\;+\;5\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin(3t),t\bigr)
e pede g'(t). Vamos usar a regra da cadeia para derivar cada parcela em função das derivadas parciais de segunda ordem de f.

Passo 2

Derivando a primeira parcela
\displaystyle G_{1}(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr),
definimos u(t)=t^{2} e v(t)=2t. Pela regra da cadeia,
G_{1}'(t) =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\bigl(u,v\bigr)\,u'(t) +\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}\bigl(u,v\bigr)\,v'(t).
Como u'(t)=2t e v'(t)=2, temos
G_{1}'(t) =2t\,f_{xx}\bigl(t^{2},2t\bigr) +2\,f_{yx}\bigl(t^{2},2t\bigr).

Passo 3

Derivando a segunda parcela
\displaystyle G_{2}(t)=5\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin(3t),t\bigr),
definimos w(t)=\sin(3t) e z(t)=t. Pela regra da cadeia,
G_{2}'(t) =5\Bigl( \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\bigl(w,z\bigr)\,w'(t) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\bigl(w,z\bigr)\,z'(t) \Bigr).
Como w'(t)=3\cos(3t) e z'(t)=1, segue
G_{2}'(t) =5\bigl(3\cos(3t)\,f_{xy}(\sin(3t),t) +f_{yy}(\sin(3t),t)\bigr).

Passo 4

Somando G_{1}'(t) e G_{2}'(t) obtemos
g'(t) =2t\,f_{xx}(t^{2},2t) +2\,f_{yx}(t^{2},2t) +15\cos(3t)\,f_{xy}(\sin(3t),t) +5\,f_{yy}(\sin(3t),t).

Resposta

g'(t) =2t\,f_{xx}\bigl(t^{2},2t\bigr) +2\,f_{yx}\bigl(t^{2},2t\bigr) +15\cos(3t)\,f_{xy}\bigl(\sin(3t),t\bigr) +5\,f_{yy}\bigl(\sin(3t),t\bigr).

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