Encontre a série em senos mista de Fourier.
f(x)=\cos x, 0<x<\pi;

Passo 1

Temos f(x)=\cos x definida em 0<x<\pi e queremos sua série de Fourier em senos no intervalo [0,\pi], isto é, o desenvolvimento
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx).
Para isso precisamos usar a fórmula dos coeficientes de uma série de senos (meia-onda ímpar).

Passo 2

A fórmula geral para os coeficientes é
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx
no nosso caso
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Para calcular a integral, usamos a identidade trigonométrica
\sin(nx)\cos x =\tfrac12\bigl[\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)\bigr].
Logo
\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin((n+1)x)\,dx +\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin((n-1)x)\,dx.

Passo 4

Cada integral de \sin(kx) é
\int_{0}^{\pi}\sin(kx)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{-\cos(k\pi)+\cos0}{k} =\frac{-(-1)^{k}+1}{k}.
Aplicando para k=n+1 e k=n-1
\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx =\tfrac12\Bigl(\frac{-(-1)^{\,n+1}+1}{\,n+1} +\frac{-(-1)^{\,n-1}+1}{\,n-1}\Bigr).

Passo 5

Observe que
-(-1)^{n+1}+1 =(-1)^{n}+1 e -(-1)^{n-1}+1 =(-1)^{n}+1.
Logo
\int_{0}^{\pi}\cos x\,\sin(nx)\,dx =\frac{(-1)^{n}+1}{2}\Bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\Bigr).
Multiplicando por 2/\pi obtemos
b_{n} =\frac{2}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}+1}{2} \Bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\Bigr) =\frac{(-1)^{n}+1}{\pi}\Bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\Bigr).

Passo 6

Como (-1)^{n}+1=0 para n ímpar, todos os b_{n} ímpares valem zero.
Para n par, digamos n=2m, temos (-1)^{2m}+1=2 e
b_{2m} =\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m-1}\Bigr) =\frac{2}{\pi}\,\frac{(2m-1)+(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} =\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}.

Passo 7

Portanto a série de senos fica
\cos x =\sum_{m=1}^{\infty}b_{2m}\,\sin(2m x) =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4m}{\pi(4m^2-1)}\,\sin(2m x).

Resposta

\boxed{ \cos x =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4m}{\pi(4m^{2}-1)}\,\sin(2m x), \quad 0<x<\pi. }

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