Calcule todas as derivadas parciais de 2^ a ordem.
z=ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

Temos a função
z = lnl(1 + x^2 + y^2r)
e queremos as derivadas parciais de segunda ordem partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial xpartial y e partial^2 zpartial y^2.
Vamos usar a regra da cadeia e, depois, derivar quocientes.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia:
zx = 11 + x^2 + y^2cdot 2x = 2x1 + x^2 + y^2
zy = 11 + x^2 + y^2cdot 2y = 2y1 + x^2 + y^2

Passo 3

Derivar zx em relação a x para obter zxx. Usando derivada de quociente:
zxx = (2),(1 + x^2 + y^2) - 2x,(2x)(1 + x^2 + y^2)^2 = 2(1 + x^2 + y^2) - 4x^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 2(1 - x^2 + y^2)(1 + x^2 + y^2)^2

Passo 4

Derivar zx em relação a y para obter zxy. Como zx = 2x,(1 + x^2 + y^2)^-1:
zxy = 2x cdot l(-1r),(1 + x^2 + y^2)^-2cdot 2y = -,4xy(1 + x^2 + y^2)^2

Passo 5

Derivar zy em relação a y para obter zyy. De modo análogo a zxx:
zyy = (2),(1 + x^2 + y^2) - 2y,(2y)(1 + x^2 + y^2)^2 = 2(1 + x^2 + y^2) - 4y^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 2(1 + x^2 - y^2)(1 + x^2 + y^2)^2

Resposta

zxx = 2(1 - x^2 + y^2)(1 + x^2 + y^2)^2, zxy = -4xy(1 + x^2 + y^2)^2, zyy = 2(1 + x^2 - y^2)(1 + x^2 + y^2)^2

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