O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O valor mínimo de
é:
não existe
Com os valores de
O valor mínimo de
não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar os valores de
e
de modo que ela:
- Intersecte o eixo
em 12. - Tenha um ponto de inflexão em
.
Depois disso, vamos usar esses valores para achar o valor mínimo de
entre as opções dadas. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais, derivadas e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função intersectar o eixo
em 12. Isso quer dizer que quando
,
. Vamos usar isso para encontrar
.
Substituindo
na função:
Então, já sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
sabendo que a função tem um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, onde a segunda derivada é zero.
Primeiro, vamos achar a primeira derivada
:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada
:
Vamos derivar
:
Usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então,
Passo 4
Sabemos que em
, a segunda derivada
. Então, vamos substituir
por
na expressão de
:
Como
nunca é zero, podemos focar na parte dentro dos parênteses:
Calculando
e
:
Simplificando:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções:
ou
.
Mas
não faz sentido na função original, então:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos utilizar esses valores para encontrar o valor mínimo de
.
A função fica:
Para encontrar o mínimo, precisamos achar onde a primeira derivada
é zero e verificar se é um ponto de mínimo.
Usando a expressão de
que já calculamos:
Igualando a zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Analisando a segunda derivada nesses pontos, podemos determinar qual é o mínimo. Após os cálculos, constatamos que o valor mínimo ocorre em
.
Substituindo na função
:
Simplificando:
Continuando:
Simplificando a fração:
Isso corresponde a uma das opções fornecidas.