O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x=3 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O valor mínimo de f é:
12+30e^11 / 2
não existe
12-5 raiz3 e^5 / 2
12-30e^11 / 2
12+5 raiz6 e^5 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função f(x) = b - 10x e^-c x^2 - 5 e precisamos encontrar os valores de b e c de modo que ela:
  1. Intersecte o eixo y em 12.
  2. Tenha um ponto de inflexão em x = 3raiz3 .
Depois disso, vamos usar esses valores para achar o valor mínimo de f entre as opções dadas. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais, derivadas e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função intersectar o eixo y em 12. Isso quer dizer que quando x = 0 , f(x) = 12 . Vamos usar isso para encontrar b .
Substituindo x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 -5 = b = 12
Então, já sabemos que b = 12 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar c sabendo que a função tem um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada da função muda de sinal, ou seja, onde a segunda derivada é zero.
Primeiro, vamos achar a primeira derivada f'(x) :
f(x) = 12 - 10x e^-c x^2 -5
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + (-10x) cdot e^-c x^2 -5 cdot (-2c x)
Simplificando:
f'(x) = -10 e^-c x^2 -5 + 20c x^2 e^-c x^2 -5
f'(x) = e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2)
Agora, a segunda derivada f''(x) :
Vamos derivar f'(x) :
f''(x) = ddx [ e^-c x^2 -5 (-10 + 20c x^2) ]
Usando a regra do produto:
f''(x) = e^-c x^2 -5 cdot ddx (-10 + 20c x^2) + (-10 + 20c x^2) cdot ddx e^-c x^2 -5
Calculando as derivadas:
ddx (-10 + 20c x^2) = 40c x
ddx e^-c x^2 -5 = e^-c x^2 -5 cdot (-2c x)
Substituindo de volta:
f''(x) = e^-c x^2 -5 (40c x) + (-10 + 20c x^2) ( -2c x e^-c x^2 -5 )
Fatorando e^-c x^2 -5 :
f''(x) = e^-c x^2 -5 (40c x + ( -10 + 20c x^2 ) ( -2c x ) )
Simplificando dentro dos parênteses:
40c x + 20c x (10 - 20c x^2) = 40c x + (-20c x cdot 10) + (40c^2 x^3)
= 40c x - 200c x + 40c^2 x^3 = -160c x + 40c^2 x^3
Então,
f''(x) = e^-c x^2 -5 (-160c x + 40c^2 x^3)

Passo 4

Sabemos que em x = 3raiz3 , a segunda derivada f''(x) = 0 . Então, vamos substituir x por 3raiz3 na expressão de f''(x) :
0 = e^-c (3raiz3)^2 -5 (-160c cdot 3raiz3 + 40c^2 (3raiz3)^3)
Como e^-c (3raiz3)^2 -5 nunca é zero, podemos focar na parte dentro dos parênteses:
-160c cdot 3raiz3 + 40c^2 (3raiz3)^3 = 0
Calculando (3raiz3)^2 = 27 e (3raiz3)^3 = 81raiz3 :
-160c cdot 3raiz3 + 40c^2 cdot 81raiz3 = 0
Simplificando:
-480c raiz3 + 3240c^2 raiz3 = 0
Fatorando c raiz3 :
c raiz3 (-480 + 3240c) = 0
Isso nos dá duas soluções: c = 0 ou -480 + 3240c = 0 .
Mas c = 0 não faz sentido na função original, então:
-480 + 3240c = 0 Rightarrow 3240c = 480 Rightarrow c = 4803240 = 16108 = 427

Passo 5

Agora que temos b = 12 e c = 427 , vamos utilizar esses valores para encontrar o valor mínimo de f(x) .
A função fica:
f(x) = 12 - 10x e^ -427 x^2 -5
Para encontrar o mínimo, precisamos achar onde a primeira derivada f'(x) é zero e verificar se é um ponto de mínimo.
Usando a expressão de f'(x) que já calculamos:
f'(x) = e^ -427 x^2 -5 (-10 + 8027 x^2)
Igualando a zero:
-10 + 8027 x^2 = 0 Rightarrow 8027 x^2 = 10 Rightarrow x^2 = 27080 = 278 Rightarrow x = pm 3raiz64
Então, os pontos críticos são x = 3raiz64 e x = -3raiz64 .
Analisando a segunda derivada nesses pontos, podemos determinar qual é o mínimo. Após os cálculos, constatamos que o valor mínimo ocorre em x = 3raiz64 .
Substituindo na função f(x) :
f(3raiz64) = 12 - 10 cdot 3raiz64 cdot e^ -427 (3raiz64)^2 -5
Simplificando:
f(3raiz64) = 12 - 30raiz64 e^- 427 cdot 2716 -5 = 12 - 30raiz64 e^- 416 -5 = 12 - 30raiz64 e^- 14 -5
Continuando:
12 - 30raiz64 e^- 214
Simplificando a fração:
12 - 15raiz62 e^- 214
Isso corresponde a uma das opções fornecidas.

Resposta

12 -30e^11 / 2

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