O objetivo desta questão é determinar os valores de b e c de modo que a função f: R R definida como f(x)=b-10 x e^-c x^2-5 intersecte o eixo y em 12 e tenha um ponto de inflexão em x=3 raiz3, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de b e c encontrados no itens anteriores:
O valor de lim x -infty f(x) é:
não existe
12
0
24
36

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por f(x) = b - 10x e^-c x^2 - 5 . Precisamos encontrar os valores de b e c de maneira que:
  1. A função intersecte o eixo y em 12. Isso significa que quando x = 0 , o valor de f(x) deve ser 12.
  2. A função tenha um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada é igual a zero.
Além disso, depois de encontrar b e c , vamos analisar o comportamento da função, mais especificamente calcular o limite limx -infty f(x) .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, e entender como encontrar pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de b . Sabemos que a função intersecta o eixo y em 12, o que ocorre quando x = 0 .
Substituindo x = 0 na função:
f(0) = b - 10 cdot 0 cdot e^-c cdot 0^2 - 5 = b
Como f(0) = 12 , temos:
b = 12

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de c . Sabemos que a função tem um ponto de inflexão em x = 3raiz3 . Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função e igualá-la a zero nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) .
f(x) = 12 - 10x e^-c x^2 - 5
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + (-10x) cdot e^-c x^2 - 5 cdot (-2c x)
Simplificando:
f'(x) = -10 e^-c x^2 - 5 + 20c x^2 e^-c x^2 - 5
f'(x) = e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx [ e^-c x^2 - 5 (-10 + 20c x^2) ]
Aplicando a regra do produto novamente:
f''(x) = ( ddx e^-c x^2 - 5 ) (-10 + 20c x^2) + e^-c x^2 - 5 ( ddx (-10 + 20c x^2) )
Calculando cada parte:
ddx e^-c x^2 - 5 = -2c x e^-c x^2 - 5
ddx (-10 + 20c x^2) = 40c x
Substituindo de volta:
f''(x) = (-2c x e^-c x^2 - 5) (-10 + 20c x^2) + e^-c x^2 - 5 (40c x)
Simplificando:
f''(x) = 20c x e^-c x^2 - 5 - 40c^2 x^3 e^-c x^2 - 5 + 40c x e^-c x^2 - 5
f''(x) = (20c x + 40c x - 40c^2 x^3) e^-c x^2 - 5
f''(x) = (60c x - 40c^2 x^3) e^-c x^2 - 5

Passo 5

Agora, sabemos que no ponto de inflexão x = 3raiz3 , a segunda derivada é zero. Então, vamos igualar f''(3raiz3) = 0 :
(60c cdot 3raiz3 - 40c^2 cdot (3raiz3)^3) e^-c (3raiz3)^2 - 5 = 0
Como e^-c x^2 - 5 nunca é zero, podemos ignorar esse fator e resolver:
60c cdot 3raiz3 - 40c^2 cdot (3raiz3)^3 = 0
Calculando (3raiz3)^3 :
(3raiz3)^3 = 27 cdot 3raiz3 = 81raiz3
Substituindo de volta:
180c raiz3 - 40c^2 cdot 81raiz3 = 0
180c raiz3 - 3240c^2 raiz3 = 0
Dividindo ambos os lados por 60c raiz3 :
3 - 54c = 0
Resolvendo para c :
54c = 3 implies c = 354 = 118

Passo 6

Agora que temos b = 12 e c = 118 , vamos analisar o comportamento da função, especificamente calcular o limite quando x tende a menos infinito:
limx -infty f(x) = limx -infty (12 - 10x e^-118 x^2 - 5)
Vamos analisar os termos individualmente:
  1. O termo constante é 12.
  2. O termo -10x e^-118 x^2 - 5 .
Quando x tende a menos infinito, x^2 tende a +infty , então -118 x^2 tende a -infty . O exponencial e^-infty tende a 0. Portanto, temos:
-10x cdot 0 = 0
Assim, o limite é:
12 - 0 = 12

Resposta

12

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