O objetivo desta questão é determinar os valores de
e
de modo que a função
definida como
intersecte o eixo
em 12 e tenha um ponto de inflexão em
, e depois analisar o comportamento dessa função.
Com os valores de
e
encontrados no itens anteriores:
O valor de
é:
não existe
12
0
24
36
Com os valores de
O valor de
não existe
12
0
24
36
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
. Precisamos encontrar os valores de
e
de maneira que:
- A função intersecte o eixo
em 12. Isso significa que quando , o valor de deve ser 12. - A função tenha um ponto de inflexão em
. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada é igual a zero.
Além disso, depois de encontrar
e
, vamos analisar o comportamento da função, mais especificamente calcular o limite
.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, como derivadas e limites, e entender como encontrar pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos começar encontrando o valor de
. Sabemos que a função intersecta o eixo
em 12, o que ocorre quando
.
Substituindo
na função:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que a função tem um ponto de inflexão em
. Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada da função e igualá-la a zero nesse ponto.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, sabemos que no ponto de inflexão
, a segunda derivada é zero. Então, vamos igualar
:
Como
nunca é zero, podemos ignorar esse fator e resolver:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos analisar o comportamento da função, especificamente calcular o limite quando
tende a menos infinito:
Vamos analisar os termos individualmente:
- O termo constante é 12.
- O termo
.
Quando
tende a menos infinito,
tende a
, então
tende a
. O exponencial
tende a 0. Portanto, temos:
Assim, o limite é:
Resposta
12