Suponha que a equação z=f(x, y) seja expressa na forma polar z=g(r, theta) através da substituição x=r cos theta e y=r sen theta.
Considere r e theta como funções de x e y e use derivação implícita para mostrar que
partial rpartial y=sen theta e partial thetapartial y=cos thetar

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de r e theta em relação a y, sabendo que
x = rcostheta, y = rsintheta
e tratando r=r(x,y) e theta=theta(x,y). O conteúdo envolve diferenciação implícita de funções definidas por essas duas equações.

Passo 2

Partindo de
y - rsintheta = 0,
derivamos em relação a y, lembrando que r e theta dependem de y. Assim,
ddy(y) - ddyl(rsinthetar) = 0
implica
1 - l(partial rpartial y,sintheta + r,costheta,partialthetapartial yr)=0

Passo 3

Análogo para
x - rcostheta = 0,
derivando em relação a y (e usando tfracdxdy=0) obtemos
0 - l(partial rpartial y,costheta - r,sintheta,partialthetapartial yr)=0,
isto é,
partial rpartial ycostheta - rsintheta,partialthetapartial y = 0

Passo 4

Escrevendo o sistema
1 - partial rpartial ysintheta - rcostheta,partialthetapartial y = 0, partial rpartial ycostheta - rsintheta,partialthetapartial y = 0,
da segunda equação segue
partial rpartial y = rtantheta,partialthetapartial y
Substituindo na primeira:
1 - rtantheta,sintheta,partialthetapartial y - rcostheta,partialthetapartial y=0 Longrightarrow 1 - rcostheta,partialthetapartial y=0
Longrightarrow partialthetapartial y = costhetar
Então
partial rpartial y = rtantheta,costhetar = sintheta

Resposta

partial rpartial y=sinthetae partial thetapartial y=costhetar

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