Calcule todas as derivadas parciais de 2^a ordem das funções:
f(x, y)=y tg(2 x)

Passo 1

Beleza, o exercício pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=ytan(2x). Aqui vamos usar regra do produto, regra da cadeia e a derivada de tan(u), que é sec^2(u)cdot u'.

Passo 2

Para achar fx, trata y como constante e aplica derivada de tan(2x):
fx = partialpartial xl(ytan(2x)r) = y cdot ddxtan(2x) = ycdotsec^2(2x)cdot2 = 2ysec^2(2x)

Passo 3

Para achar fy, trata x como constante e deriva em relação a y:
fy = partialpartial yl(ytan(2x)r) = tan(2x)

Passo 4

Agora vamos a fxx. Diferencia fx=2ysec^2(2x) em relação a x, com y constante:
fxx = partialpartial xl(2ysec^2(2x)r) = 2y cdot ddxsec^2(2x)
Como
ddxsec^2(2x) = 2sec^2(2x)tan(2x)cdot2 = 4sec^2(2x)tan(2x),
temos
fxx = 2ycdot4sec^2(2x)tan(2x) = 8ysec^2(2x)tan(2x)

Passo 5

Para fxy, deriva fx=2ysec^2(2x) em relação a y, com x constante:
fxy = partialpartial y(2ysec^2(2x)) = 2sec^2(2x)
Pelo teorema das derivadas mistas, fyx=fxy=2sec^2(2x).

Passo 6

Por fim, fyy vem de derivar fy=tan(2x) em relação a y. Como não há y ali, fica
fyy = 0

Resposta

f_{xx}=8y\sec^2(2x)\tan(2x),\quad f_{xy}=f_{yx}=2\sec^2(2x),\quad f_{yy}=0

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