Resolva cada uma das integrais a seguir
integral csc ^4 xcot ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral csc^4 xcot^2 x,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar de identidades como csc x=1/sin x, cot x=cos x/sin x e csc^2 x=1+cot^2 x, além de uma substituição simples para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando usando as definições em termos de sin e cos:
csc^4 xcot^2 x=1/sin^4 xcos^2 x/sin^2 x=1sin^2 xcos^2 x=sec^2 x,csc^2 x

Passo 3

Agora, adotamos a substituição t=tan x, de modo que dt=sec^2 x,dx. Repare que a integral fica:
integral sec^2 x,csc^2 x,dx=integral csc^2 x,(sec^2 x,dx)=integral csc^2 x,dt

Passo 4

Precisamos expressar csc^2 x em função de t. Como tan^2 x=sin^2 xcos^2 x, temos sin^2 x=t^21+t^2 e então
csc^2 x=1sin^2 x=1+t^2t^2=1+1t^2
Logo,
integral csc^2 x,dt=integral l(1+1t^2r)dt=integral dt+integral t^-2dt=t- t^-1+C

Passo 5

Voltando a t=tan x, obtemos
tan x-1tan x+C=tan x-cot x+C

Resposta

tan x-cot x+C

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