Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+2 i|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral ointC 2z+5z^2-2z,dz, onde C é o círculo |z+2i|=1. O conteúdo aqui é integração complexa em contorno fechado, e vamos usar o Teorema 5.5.1 (teorema de Cauchy para funções analíticas) e, se necessário, o Teorema 5.5.2 (teorema dos resíduos).

Passo 2

Primeiro, identificamos os possíveis pontos singulares da função f(z)=2z+5z^2-2z. O denominador fatora como z(z-2), logo os polos são em z=0 e z=2.

Passo 3

Agora determinamos se esses polos estão dentro do contorno C. O centro do contorno é -2i e o raio é 1. Calculamos as distâncias:
|0+2i|=2>1,
|2+2i|=raiz4+4=2raiz2>1

Passo 4

Ambos os polos ficam fora de C, portanto f(z) é analítica em toda a região interna e na fronteira de C.

Passo 5

Como a função é analítica dentro e sobre o contorno fechado, pelo Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1), a integral é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados