Use os Teoremas 5.5 .1 e 5.5 .2 , onde for apropriado, para calcular a dada integral ao longo do contorno(s) fechado(s) indicado(s).
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+2 i|=1
\oint_{C} \frac{2 z+5}{z^{2}-2 z} d z ;
|z+2 i|=1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é o círculo
. O conteúdo aqui é integração complexa em contorno fechado, e vamos usar o Teorema 5.5.1 (teorema de Cauchy para funções analíticas) e, se necessário, o Teorema 5.5.2 (teorema dos resíduos).
Passo 2
Primeiro, identificamos os possíveis pontos singulares da função
. O denominador fatora como
, logo os polos são em
e
.
Passo 3
Agora determinamos se esses polos estão dentro do contorno
. O centro do contorno é
e o raio é 1. Calculamos as distâncias:
Passo 4
Ambos os polos ficam fora de
, portanto
é analítica em toda a região interna e na fronteira de
.
Passo 5
Como a função é analítica dentro e sobre o contorno fechado, pelo Teorema de Cauchy (Teorema 5.5.1), a integral é zero.
Resposta
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