Verifique se partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y para as seguintes funções:
f(x, y)=x^5 y^4-3 x^2 y^3+2 x^2

Passo 1

A gente quer verificar se as derivadas mistas partial^2 fpartial ypartial x e partial^2 fpartial xpartial y coincidem pra função f(x,y)=x^5y^4-3x^2y^3+2x^2. Como f é um polinômio, ela é C^infty e o Teorema de Schwarz diz que as derivadas mistas devem ser iguais se existirem e forem contínuas.

Passo 2

Pra começar, vamos achar a derivada parcial de f em relação a x. Aplicando a regra da potência a cada termo, temos:
fx=partial fpartial x=5x^4y^4-6xy^3+4x

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y para obter fxy=partialpartial y(fx). Isso dá:
fxy=20x^4y^3-18xy^2

Passo 4

Em seguida, voltamos à função original e calculamos a derivada parcial em relação a y:
fy=partial fpartial y=4x^5y^3-9x^2y^2

Passo 5

Por fim, derivamos fy em relação a x para obter fyx=partialpartial x(fy):
fyx=20x^4y^3-18xy^2

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que fxy=20x^4y^3-18xy^2 e fyx=20x^4y^3-18xy^2, ou seja, elas são iguais.

Resposta

Sim. As derivadas mistas coincidem e valem partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y=20x^4y^3-18xy^2.

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