Verifique se
para as seguintes funções:
Passo 1
A gente quer verificar se as derivadas mistas
e
coincidem pra função
. Como
é um polinômio, ela é
e o Teorema de Schwarz diz que as derivadas mistas devem ser iguais se existirem e forem contínuas.
Passo 2
Pra começar, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
. Aplicando a regra da potência a cada termo, temos:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Isso dá:
Passo 4
Em seguida, voltamos à função original e calculamos a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Por fim, derivamos
em relação a
para obter
:
Passo 6
Comparando os resultados, vemos que
e
, ou seja, elas são iguais.
Resposta
Sim. As derivadas mistas coincidem e valem
.