Resolva cada uma das integrais a seguir
integral sec ^3 xtan ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sec^3 xtan^4 x,dx. O conteúdo aqui é cálculo de integrais de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e o método de substituição.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integrando em termos de seno e cosseno. Lembrando que sec x=1cos x e tan x=sin xcos x, temos:
sec^3 xtan^4 x=1/cos^3 x(sin^4 x/cos^4 x)=cos^4 xcos^3 xcdot1sin^4 x=cos xsin^4 x=cos x,sin^-4x
Agora usamos a substituição u=sin x. Então du=cos x,dx. Assim a integral vira uma potência de u:
integralcos x,sin^-4x,dx=integral u^-4,du
A integral de potência é direta:
integral u^-4,du=u^-3-3+C=-13,u^3+C
Por fim, voltamos à variável x substituindo u=sin x. Obtemos
$$
-\frac{1}{3,\sin^3 x}+C
$$

Resposta

-\frac{1}{3,\sin^3 x}+C

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