Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para chegar nas derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. A derivada parcial em relação a
(
) e em relação a
(
).
A função é
. Podemos reescrever isso como
para facilitar a derivação.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
.
Primeiro,
:
Usando a regra do quociente e simplificando:
Passo 6
Agora,
:
Passo 7
Por fim,
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: