Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
c) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como tirar derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para chegar nas derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . A derivada parcial em relação a ( ) e em relação a ( ).
A função é . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação.

Passo 3

Vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , , .
Primeiro, :
Usando a regra do quociente e simplificando:

Passo 6

Agora, :

Passo 7

Por fim, :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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