circ Verifique que partial^2 f(x, y)partial x partial y=partial^2 f(x, y)partial y partial x se
a) f(x, y)=ln (2 x+3 y),

Passo 1

Vamos verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x são iguais, ou seja, que:
Para isso, precisamos calcular ambas as derivadas e mostrar que resultam no mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 22x + 3y em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada da função logarítmica, onde a derivada de em relação a é , sendo e .

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y ( 22x + 3y ) = -6(2x + 3y)^2 em relação a para encontrar :
Aqui, aplicamos a regra do quociente e a cadeia para derivar em relação a .

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 32x + 3y em relação a :
Novamente, usamos a regra da derivada da função logarítmica, com e .

Passo 5

Agora, derivamos partial^2 fpartial x partial y = partialpartial x ( 32x + 3y ) = -6(2x + 3y)^2 em relação a para encontrar :
Aqui, usamos novamente a regra do quociente e a cadeia para derivar em relação a .

Resposta

Como , verificamos que as derivadas parciais mistas são iguais.

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