Verifique que
se
a)
,
a)
Passo 1
Vamos verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
são iguais, ou seja, que:
Para isso, precisamos calcular ambas as derivadas e mostrar que resultam no mesmo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da derivada da função logarítmica, onde a derivada de
em relação a
é
, sendo
e
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Aqui, aplicamos a regra do quociente e a cadeia para derivar em relação a
.
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, usamos a regra da derivada da função logarítmica, com
e
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Aqui, usamos novamente a regra do quociente e a cadeia para derivar em relação a
.
Resposta
Como
, verificamos que as derivadas parciais mistas são iguais.