Calcule todas as derivadas de segunda ordem de
z=ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função
z = lnl(1 + x^2 + y^2r)
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, para as quais vamos usar a regra da cadeia e, em seguida, a regra do quociente (ou produto) para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro definimos
u(x,y) = 1 + x^2 + y^2,
então
z = ln u
Pela regra da cadeia,
partial zpartial x = 1u,partial upartial x = 11 + x^2 + y^2cdot 2x = 2x1 + x^2 + y^2,
e de forma análoga
partial zpartial y = 2y1 + x^2 + y^2

Passo 3

Para obter partial^2 zpartial x^2, derivamos zx = tfrac2xu em relação a x. Usando produto (ou quociente):
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial xl(2x,u^-1r) = 2,u^-1 + 2xl(-1r)u^-2,partial upartial x = 2u - 2xcdot 2xu^2
Substituindo u = 1 + x^2 + y^2,
partial^2 zpartial x^2 = 21 + x^2 + y^2 - 4x^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 2l(1 + x^2 + y^2r) - 4x^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 2l(1 - x^2 + y^2r)(1 + x^2 + y^2)^2

Passo 4

Para partial^2 zpartial xpartial y, derivamos zx = 2x,u^-1 em relação a y:
partial^2 zpartial xpartial y = 2xcdotl(-1r)u^-2,partial upartial y = -,2xcdot 2y(1 + x^2 + y^2)^2 = -,4xy(1 + x^2 + y^2)^2
Como a função é suficientemente suave, vale zxy = zyx.

Passo 5

Para partial^2 zpartial y^2, derivamos zy = 2y,u^-1 em relação a y, de modo análogo ao caso de x:
partial^2 zpartial y^2 = 2u - 4y^2u^2 = 2l(1 + x^2 + y^2r) - 4y^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 2l(1 + x^2 - y^2r)(1 + x^2 + y^2)^2

Resposta

partial^2 zpartial x^2 = 2l(1 - x^2 + y^2r)(1 + x^2 + y^2)^2,
partial^2 zpartial x partial y = -,4xy(1 + x^2 + y^2)^2,
partial^2 zpartial y^2 = 2l(1 + x^2 - y^2r)(1 + x^2 + y^2)^2

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