Calcule todas as derivadas de segunda ordem de
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função
O conteúdo principal envolve derivadas parciais, para as quais vamos usar a regra da cadeia e, em seguida, a regra do quociente (ou produto) para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro definimos
então
Pela regra da cadeia,
e de forma análoga
Passo 3
Para obter
, derivamos
em relação a
. Usando produto (ou quociente):
Substituindo
,
Passo 4
Para
, derivamos
em relação a
:
Como a função é suficientemente suave, vale
.
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
, de modo análogo ao caso de
: