Determine y^prime em cada caso sabendo que y=f(x) está implícita nas equações abaico.
f) x^2 y+x y^2=2 x-3 y ;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y'= dydx quando y=f(x) está definida implicitamente pela equação
x^2y + x y^2 = 2x - 3y
O conteúdo principal aqui é derivação implícita, usando a regra do produto e lembrando que y depende de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo temos dois produtos:
  1. Para ;x^2y;:
ddx(x^2y) = 2x,y + x^2y'
  1. Para ;x y^2;:
ddx(x y^2) = 1cdot y^2 + xcdot 2y,y' = y^2 + 2x y,y'
Somando, a derivada do LHS é
2x y + x^2y' + y^2 + 2x y,y'

Passo 3

No lado direito, ;2x - 3y;
ddx(2x - 3y) = 2 - 3y'
Portanto, igualando as derivadas:
2x y + x^2y' + y^2 + 2x y,y' = 2 - 3y'

Passo 4

Agora agrupamos os termos com y' num lado e os outros termos no lado oposto:
x^2y' + 2x y,y' + 3y' = 2 - 2x y - y^2
Fatorando y':
y',(x^2 + 2x y + 3) = 2 - 2x y - y^2,
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y' = 2 - 2x y - y^2x^2 + 2x y + 3

Resposta

y' = 2 - 2x y - y^2x^2 + 2x y + 3

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