Calcule todas as derivadas de segunda ordem das funções
f(x, y)=y t g(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=y tanl(2xr)
Aqui vamos usar definição de derivada parcial, a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para partial fpartial x tratamos y como constante e tan(2x) como função composta:
partial fpartial x = y cdot ddxl[tan(2x)r] = y cdot sec^2l(2xr)cdotddx(2x) =2y,sec^2l(2xr)
Para partial fpartial y vemos que tan(2x) é constante em relação a y:
partial fpartial y =tanl(2xr)

Passo 3

Agora calculamos partial^2 fpartial x^2, ou seja, derivamos partial fpartial x=2y,sec^2(2x) em relação a x, tratando y como constante:
partial^2 fpartial x^2 =2y cdot ddx!l[sec^2(2x)r] =2y cdotl(2sec^2(2x)tan(2x)r)cdotddx(2x) =2y cdotl(2sec^2(2x)tan(2x)r)cdot2 =8y,sec^2l(2xr)tanl(2xr)

Passo 4

Em seguida calculamos as derivadas mistas.
Para partial^2 fpartial y,partial x derivamos partial fpartial x=2y,sec^2(2x) em relação a y:
partial^2 fpartial y,partial x =2,sec^2l(2xr)
Para partial^2 fpartial x,partial y derivamos partial fpartial y=tan(2x) em relação a x:
partial^2 fpartial x,partial y =ddxl[tan(2x)r] =sec^2l(2xr)cdot2 =2,sec^2l(2xr)
Note que, por teorema de Schwarz (função C^2), as mistas coincidem.

Passo 5

Por fim, partial^2 fpartial y^2 vem de derivar partial fpartial y=tan(2x) em relação a y, mas aí tan(2x) é constante:
partial^2 fpartial y^2 =0

Resposta

partial^2 fpartial x^2 =8y,sec^2l(2xr)tanl(2xr), partial^2 fpartial x,partial y =2,sec^2l(2xr),
partial^2 fpartial y,partial x =2,sec^2l(2xr), partial^2 fpartial y^2 =0

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