Calcule todas as derivadas de segunda ordem das funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Aqui vamos usar definição de derivada parcial, a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para tratamos
como constante e
como função composta:
Para
Para
vemos que
é constante em relação a
:
Passo 3
Agora calculamos
, ou seja, derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Passo 4
Em seguida calculamos as derivadas mistas.
Para derivamos
em relação a
:
Para
Para
derivamos
em relação a
:
Note que, por teorema de Schwarz (função
), as mistas coincidem.
Passo 5
Por fim,
vem de derivar
em relação a
, mas aí
é constante: