Calcule todas as derivadas de segunda ordem das funções
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
O objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e, quando necessário, a regra do produto.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Tratando
como constante, aplicamos
com
e
. Logo,
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Agora
, então
Passo 4
Derivar novamente
em relação a
para obter
. Temos
então
Passo 5
Derivar
em relação a
para obter
. Partindo de
aplicamos a cadeia com
:
Por simetria das segundas derivadas mistas,
.
Passo 6
Derivar
em relação a
para obter
. Escrevemos
e usamos regra do produto:
Colocando em denominação comum fica