Calcule todas as derivadas de segunda ordem das funções
f(x, y)=raizx+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x,y)=raizx+y^2 = (x+y^2)^1/2
O objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e, quando necessário, a regra do produto.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x. Tratando y como constante, aplicamos
ddu(u^1/2)=12u^-1/2,
com u = x+y^2 e partial u/partial x = 1. Logo,
fx = 12(x+y^2)^-1/2 = 12raizx+y^2

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Agora partial u/partial y = 2y, então
fy = 12(x+y^2)^-1/2cdot 2y = yraizx+y^2

Passo 4

Derivar novamente fx em relação a x para obter fxx. Temos
fx = tfrac12(x+y^2)^-1/2,
então
fxx = 12l(-tfrac12r)(x+y^2)^-3/2cdot 1 = -14,(x+y^2)^3/2

Passo 5

Derivar fx em relação a y para obter fxy. Partindo de
fx = tfrac12(x+y^2)^-1/2,
aplicamos a cadeia com partial(x+y^2)/partial y = 2y:
fxy = 12l(-tfrac12r)(x+y^2)^-3/2cdot 2y = -y2,(x+y^2)^3/2
Por simetria das segundas derivadas mistas, fyx=fxy.

Passo 6

Derivar fy em relação a y para obter fyy. Escrevemos
fy = y,(x+y^2)^-1/2
e usamos regra do produto:
fyy = 1cdot (x+y^2)^-1/2 + ycdotl(-tfrac12r)(x+y^2)^-3/2cdot 2y = (x+y^2)^-1/2 - y^2(x+y^2)^3/2
Colocando em denominação comum fica
fyy = x+y^2 - y^2(x+y^2)^3/2 = x(x+y^2)^3/2

Resposta

fxx = -14,(x+y^2)^3/2
fxy = fyx = -y2,(x+y^2)^3/2
fyy = x(x+y^2)^3/2

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