Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=integralx^y cos (t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = integralx^y cos(t^2) , dt . Isso significa que vamos calcular partial fpartial x e partial fpartial y . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para partial fpartial y . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se tivermos uma função definida como uma integral com o limite superior sendo y, a derivada em relação a y é simplesmente a função dentro da integral avaliada em y. Então:
partial fpartial y = cos(y^2)
Isso porque estamos derivando em relação ao limite superior y.

Passo 3

Agora, vamos calcular partial fpartial x . Aqui, o x está no limite inferior da integral. Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a x é o negativo da função dentro da integral avaliada em x. Ou seja:
partial fpartial x = -cos(x^2)
O sinal negativo aparece porque x está no limite inferior.

Passo 4

Então, resumindo o que fizemos:
  • Para partial fpartial y , derivamos em relação ao limite superior y e mantivemos a função dentro da integral avaliada em y.
  • Para partial fpartial x , derivamos em relação ao limite inferior x e colocamos um sinal negativo na frente da função avaliada em x.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) são:
partial fpartial x = -cos(x^2)
e
partial fpartial y = cos(y^2)

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