Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular
e
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo que relaciona derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se tivermos uma função definida como uma integral com o limite superior sendo y, a derivada em relação a y é simplesmente a função dentro da integral avaliada em y. Então:
Isso porque estamos derivando em relação ao limite superior y.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui, o x está no limite inferior da integral. Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação a x é o negativo da função dentro da integral avaliada em x. Ou seja:
O sinal negativo aparece porque x está no limite inferior.
Passo 4
Então, resumindo o que fizemos:
- Para
, derivamos em relação ao limite superior y e mantivemos a função dentro da integral avaliada em y. - Para
, derivamos em relação ao limite inferior x e colocamos um sinal negativo na frente da função avaliada em x.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e