Calcule todas as derivadas de segunda ordem das funções
f(x, y)=xx+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem de
f(x,y) = xx+y
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial de funções de duas variáveis, usando a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a x, usando a regra do quociente:
fx = partialpartial xl(xx+yr) = 1cdot (x+y) - xcdot 1(x+y)^2 = x+y - x(x+y)^2 = y(x+y)^2

Passo 3

Agora a derivada parcial de primeira ordem em relação a y:
fy = partialpartial yl(xx+yr) = 0cdot (x+y) - xcdot 1(x+y)^2 = -,x(x+y)^2

Passo 4

Derivada de fx em relação a x, ou seja fxx. Como
,fx = y,(x+y)^-2, usamos a regra da cadeia:
fxx = y cdot ddxl((x+y)^-2r) = y cdot (-2),(x+y)^-3cdot 1 = -,2y(x+y)^3

Passo 5

Derivada de fx em relação a y, ou seja fxy. Temos
,fx = y,(x+y)^-2. Aplicando produto e cadeia:
fxy = 1cdot (x+y)^-2 + ycdot (-2),(x+y)^-3cdot 1 = 1(x+y)^2 - 2y(x+y)^3 = (x+y)-2y(x+y)^3 = x-y(x+y)^3

Passo 6

Derivada de fy em relação a x, ou seja fyx. Como
,fy = -x,(x+y)^-2, temos
fyx = -l[1cdot (x+y)^-2 + xcdot(-2),(x+y)^-3r] = -1(x+y)^2 + 2x(x+y)^3 = - (x+y) +2x(x+y)^3 = x-y(x+y)^3

Passo 7

Derivada de fy em relação a y, ou seja fyy. Usando
,fy = -x,(x+y)^-2:
fyy = -x cdot ddyl((x+y)^-2r) = -x cdot (-2),(x+y)^-3cdot 1 = 2x(x+y)^3

Resposta

fxx = -2y(x+y)^3, fxy = fyx = x-y(x+y)^3, fyy = 2x(x+y)^3

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