Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x y e^x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x,y,e^x y
O conteúdo aqui é derivada parcial em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, escrevemos
f(x,y)=u(x,y),v(x,y),
onde u=x,y e v=e^x y. Pela regra do produto,
partial fpartial x = ux,v + u,vx
Calculando as derivadas parciais de u e v em relação a x:
ux = y, vx = e^x ycdot y
Substituindo:
partial fpartial x = y,e^x y + x,y,(e^x ycdot y) = e^x yl(y + x,y^2r) = y,e^x yl(1 + x,yr)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, usamos o mesmo u e v. Pela regra do produto,
partial fpartial y = uy,v + u,vy
Agora
uy = x, vy = e^x ycdot x
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partial fpartial y = x,e^x y + x,y,(e^x ycdot x) = e^x yl(x + x^2,yr) = x,e^x yl(1 + x,yr)

Resposta

partial fpartial x = y,e^x yl(1 + x,yr)
partial fpartial y = x,e^x yl(1 + x,yr)

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