A equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
f(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Laplace
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0
e define funções harmônicas como aquelas que a satisfazem. Precisamos verificar se
f(x,y)=x^2+y^2
é harmônica, ou seja, se nela vale
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
partial fpartial x = 2x Longrightarrow partial^2fpartial x^2 = 2,
partial fpartial y = 2y Longrightarrow partial^2fpartial y^2 = 2
Somando essas duas quantidades, obtemos
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 2 + 2 = 4 neq 0

Resposta

A função f(x,y)=x^2+y^2 não é harmônica.

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