A equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=x^2-y^2 satisfaz a equação de Laplace
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 0
O conteúdo necessário é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = -2y
Em seguida as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2fpartial x^2 = partialpartial x(2x) = 2, partial^2fpartial y^2 = partialpartial y(-2y) = -2
Somando-as:
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 2 + (-2) = 0
Logo f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, f(x,y)=x^2-y^2 é função harmônica, pois partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2=0.

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