Use a tabela de transformadas de Laplace e a linearidade da transformada de Laplace para determinar as seguintes transformadas.
4\left\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\right\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função 4\left\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\right\} usando a tabela de transformadas e a linearidade. Ou seja, a função cujo valor queremos transformar é
f(t)=4\bigl(6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\bigr).
A tarefa é aplicar regras padrão da tabela (transformada de e^{at}, de potências de t, de constantes) e a propriedade de linearidade.

Passo 2

Lembrete importante (linearidade): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então para constantes a,b
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
Isto permite transformar termo a termo e mover constantes multiplicativas para fora da transformada.

Passo 3

Vamos listar as fórmulas da tabela que vamos usar (todas válidas para as regiões de convergência indicadas):
  • Para deslocamento exponencial: \mathcal{L}\{e^{-3t}\}=\dfrac{1}{s+3}.
  • Para potências: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Em particular, \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}} e \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Para constante: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.

Passo 4

Aplique a linearidade termo a termo à função interna 6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8:
\mathcal{L}\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\} =6\mathcal{L}\{e^{-3t}\}-\mathcal{L}\{t^{2}\}+2\mathcal{L}\{t\}-8\mathcal{L}\{1\}.
Agora substituindo as fórmulas da tabela:
6\mathcal{L}\{e^{-3t}\}= \frac{6}{s+3}, \quad \mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}, \quad 2\mathcal{L}\{t\}=\frac{2}{s^{2}}, \quad 8\mathcal{L}\{1\}=\frac{8}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8\} =\frac{6}{s+3}-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{8}{s}.

Passo 5

Agora lembrando que a função original tem um fator 4 multiplicando tudo, aplicamos novamente a linearidade (ou simplesmente multiplicamos por 4 o resultado anterior):
\mathcal{L}\{4(6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8)\} =4\left(\frac{6}{s+3}-\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{8}{s}\right).
Fazendo as multiplicações:
4\cdot\frac{6}{s+3}=\frac{24}{s+3},\qquad 4\cdot\left(-\frac{2}{s^{3}}\right)=-\frac{8}{s^{3}},\qquad 4\cdot\frac{2}{s^{2}}=\frac{8}{s^{2}},\qquad 4\cdot\left(-\frac{8}{s}\right)=-\frac{32}{s}.

Passo 6

Juntando os termos, a transformada final é
\mathcal{L}\{4(6 e^{-3 t}-t^{2}+2 t-8)\} =\frac{24}{s+3}-\frac{8}{s^{3}}+\frac{8}{s^{2}}-\frac{32}{s}.
Região de convergência: todos os termos envolvendo potências de t exigem \Re(s)>0; portanto a interseção é \Re(s)>0.

Resposta

\frac{24}{s+3}-\frac{8}{s^{3}}+\frac{8}{s^{2}}-\frac{32}{s}

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