Resolva as equações e^(z) = -1, e^(z) = 1 + i, e^(z) = -i, e^(z) + 6 e^(-z) = 5, log(z) = pi i / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas equações envolvendo exponenciais e logaritmos de números complexos. O assunto aqui é números complexos e funções exponenciais e logarítmicas no contexto deles. Para resolver essas equações, vamos precisar entender como expressar números complexos na forma polar e usar as propriedades das funções exponenciais e logarítmicas nesse contexto.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação: . Aqui, queremos encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Sabemos que para um número complexo pode ser escrito usando a fórmula de Euler: .

Passo 3

Para que , precisamos que e que . Isso ocorre quando e , onde é qualquer número inteiro, já que o cosseno de é -1 e o seno é 0.

Passo 4

Portanto, todas as soluções para são da forma , onde pertence aos números inteiros.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda equação: . Primeiro, expressamos em forma polar. O módulo é e o argumento é .

Passo 6

Então, podemos escrever . Agora, igualando as duas expressões , temos que , onde é qualquer inteiro.

Passo 7

Simplificando, , então as soluções são .

Passo 8

Passando para a terceira equação: . Novamente, expressamos em forma polar. O módulo é 1 e o argumento é .

Passo 9

Então, . Igualando as expressões, temos , onde é qualquer inteiro.

Passo 10

Agora, vamos para a quarta equação: . Para resolver isso, vamos substituir por , o que nos dá a equação .

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por , temos , que é uma equação quadrática: .

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática, encontramos ou . Portanto, ou .

Passo 13

Resolvendo para , temos ou , onde é qualquer inteiro.

Passo 14

Finalmente, a quinta equação: . Aqui, queremos encontrar tal que o logaritmo complexo de seja .

Passo 15

Usando a definição do logaritmo complexo, temos para qualquer inteiro .

Passo 16

Simplificando, , então as soluções são , já que .

Resposta

As soluções das equações são:
  1. , onde é qualquer inteiro.
  2. , onde é qualquer inteiro.
  3. , onde é qualquer inteiro.
  4. ou , onde é qualquer inteiro.
  5. .

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