Resolva as equações
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas equações envolvendo exponenciais e logaritmos de números complexos. O assunto aqui é números complexos e funções exponenciais e logarítmicas no contexto deles. Para resolver essas equações, vamos precisar entender como expressar números complexos na forma polar e usar as propriedades das funções exponenciais e logarítmicas nesse contexto.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
. Aqui, queremos encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade. Sabemos que
para um número complexo
pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
.
Passo 3
Para que
, precisamos que
e que
. Isso ocorre quando
e
, onde
é qualquer número inteiro, já que o cosseno de
é -1 e o seno é 0.
Passo 4
Portanto, todas as soluções para
são da forma
, onde
pertence aos números inteiros.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda equação:
. Primeiro, expressamos
em forma polar. O módulo é
e o argumento é
.
Passo 6
Então, podemos escrever
. Agora, igualando as duas expressões
, temos que
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 7
Simplificando,
, então as soluções são
.
Passo 8
Passando para a terceira equação:
. Novamente, expressamos
em forma polar. O módulo é 1 e o argumento é
.
Passo 9
Então,
. Igualando as expressões, temos
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 10
Agora, vamos para a quarta equação:
. Para resolver isso, vamos substituir
por
, o que nos dá a equação
.
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
, temos
, que é uma equação quadrática:
.
Passo 12
Resolvendo a equação quadrática, encontramos
ou
. Portanto,
ou
.
Passo 13
Resolvendo para
, temos
ou
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 14
Finalmente, a quinta equação:
. Aqui, queremos encontrar
tal que o logaritmo complexo de
seja
.
Passo 15
Usando a definição do logaritmo complexo, temos
para qualquer inteiro
.
Passo 16
Simplificando,
, então as soluções são
, já que
.
Resposta
As soluções das equações são:
-
, onde é qualquer inteiro. -
, onde é qualquer inteiro. -
, onde é qualquer inteiro. -
ou , onde é qualquer inteiro. -
.