Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas a contições dadas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe um f cujo comportamento em zero e nos infinitos seja dado por certas assimptotas: na direita de zero cresce sem limite, na esquerda decresce sem limite, e nos infinitos tem duas horizontais distintas (em +∞ vale 1 e em –∞ vale 2). Vamos construir isso em etapas.
Passo 2
Precisamos de uma assimptota vertical em x=0 com limites opostos. A forma mais simples para isso é usar a função
, pois
e
. Então já garantimos a parte do comportamento em zero.
Passo 3
Agora precisamos de duas assimptotas horizontais diferentes:
quando
e
quando
. Uma maneira fácil é usar uma função logística shiftada. Considere
Note que
em
, dando
, e
em
, dando
.
Passo 4
Para combinar tudo, basta somar as duas partes: a parte logística
, que cuida das assimptotas horizontais, e
, que cuida da assimptota vertical. Assim definimos
Passo 5
O gráfico dessa função terá: a) assimptota vertical em
, b) assimptota horizontal em
quando
, e c) assimptota horizontal em
quando
. É esse esboço que satisfaz todas as condições do enunciado.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz todas as condições é