Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas a contições dadas.
lim x 0^+ f(x)=infty, lim x 0^- f(x)=-infty, lim x infty f(x)=1, lim x -infty f(x)=2

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe um f cujo comportamento em zero e nos infinitos seja dado por certas assimptotas: na direita de zero cresce sem limite, na esquerda decresce sem limite, e nos infinitos tem duas horizontais distintas (em +∞ vale 1 e em –∞ vale 2). Vamos construir isso em etapas.

Passo 2

Precisamos de uma assimptota vertical em x=0 com limites opostos. A forma mais simples para isso é usar a função 1/x, pois limxto0^+1/x=+infty e limxto0^-1/x=-infty. Então já garantimos a parte do comportamento em zero.

Passo 3

Agora precisamos de duas assimptotas horizontais diferentes: y=1 quando xto+infty e y=2 quando xto-infty. Uma maneira fácil é usar uma função logística shiftada. Considere H(x)=2-11+e^-xNote que e^-xto0 em +infty, dando H(x)to2-1=1, e e^-xto+infty em -infty, dando H(x)to2-0=2.

Passo 4

Para combinar tudo, basta somar as duas partes: a parte logística H(x), que cuida das assimptotas horizontais, e 1/x, que cuida da assimptota vertical. Assim definimos
f(x)=2-11+e^-x+1x

Passo 5

O gráfico dessa função terá: a) assimptota vertical em x=0, b) assimptota horizontal em y=1 quando xto+infty, e c) assimptota horizontal em y=2 quando xto-infty. É esse esboço que satisfaz todas as condições do enunciado.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz todas as condições é
f(x)=2-11+e^-x+1x

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