Calcule todas as matrizes , de ordem 2, tais que .
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes tais que
O conteúdo é o estudo de involuções em álgebra linear; vamos usar o fato de que
é um polinômio que se anula em , de modo que o polinômio mínimo de divide .
Passo 2
Como o polinômio mínimo divide , existem três casos possíveis: . , o que implica . . , o que implica . . , cujas raízes são e distintas, de modo que é diagonalizável com autovalores e .
Passo 3
No caso não trivial , existe tal que
Ou seja, toda involução não escalar é semelhante a .
Passo 4
Uma forma equivalente de caracterizar todas as soluções é notar que, se , então
é uma projeção (pois ). Reciprocamente, se então
Como projeções em dimensão têm posto , ou , obtemos exatamente os três casos: