Calcule todas as matrizes X, de ordem 2, tais que X^2=I2.

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(R) tais que
X^2=I2
O conteúdo é o estudo de involuções em álgebra linear; vamos usar o fato de que
X^2-I2=0
é um polinômio que se anula em X, de modo que o polinômio mínimo de X divide t^2-1=(t-1)(t+1).

Passo 2

Como o polinômio mínimo muX(t) divide (t-1)(t+1), existem três casos possíveis:
1. muX(t)=t-1, o que implica X=I2.
2. muX(t)=t+1, o que implica X=-I2.
3. muX(t)=t^2-1, cujas raízes são 1 e -1 distintas, de modo que X é diagonalizável com autovalores 1 e -1.

Passo 3

No caso não trivial muX(t)=t^2-1, existe Sin GL2(R) tal que
X = S1&00&-1S^-1
Ou seja, toda involução não escalar é semelhante a diag(1,-1).

Passo 4

Uma forma equivalente de caracterizar todas as soluções é notar que, se X^2=I2, então
P = X+I22
é uma projeção (pois P^2=P). Reciprocamente, se P^2=P então
X = 2P - I2 satisfaz X^2=I2
Como projeções em dimensão 2 têm posto 0, 1 ou 2, obtemos exatamente os três casos:
  • posto 0 implies P=0 implies X=-I2,
  • posto 2 implies P=I2 implies X=I2,
  • posto 1 implies involuções não escalares.

Resposta

Todas as matrizes Xin M2(R) tais que X^2=I2 são exatamente
X = I2, X = -I2,
ou
X = S 1 & 0 0 & -1 S^-1, Sin GL2(R),
nequivalentemente
X = 2P - I2,
onde P é qualquer projeção ( P^2=P) de posto 1.

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