Calcule todas as raízes e identifique-as no plano complexo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as oitavas‐raízes de
e identificá-las no plano complexo. Vamos usar a forma polar de e aplicar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Calculamos o módulo e o argumento principal de . Como
e observando que cos(4pi/3) = -tfrac12, sin(4pi/3) = -tfracraiz32, temos
z = e^,i,4pi/3
Passo 3
Para obter as oito raízes de ordem usamos a fórmula geral
Passo 4
Como e ,
Passo 5
No plano complexo, essas raízes são oito pontos no círculo unitário, igualmente espaçados de pi/4, com ângulos
thetak = tfracpi6 + tfracpi k4, k=0,1,dots,7
Resposta
l,e^,il(tfracpi6 + tfracpi k4r) : k=0,1,dots,7r,
isto é, os pontos no círculo unitário cujos argumentos são tfracpi6,,tfrac3pi12,,tfrac5pi12,,dots,,tfrac13pi6, equivalentes a 30^circ,75^circ,120^circ,165^circ,210^circ,255^circ,300^circ,345^circ.