Calcule todas as raízes e identifique-as no plano complexo:
(-12-i raiz32)^18

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as oitavas‐raízes de
z = -tfrac12 - i,tfracraiz32
e identificá-las no plano complexo. Vamos usar a forma polar de z e aplicar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento principal de z. Como
l|zr| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(-tfracraiz32r)^2 = 1,
e observando que cos(4pi/3) = -tfrac12, sin(4pi/3) = -tfracraiz32, temos
z = e^,i,4pi/3

Passo 3

Para obter as oito raízes de ordem usamos a fórmula geral

Passo 4

Como e ,

Passo 5

No plano complexo, essas raízes são oito pontos no círculo unitário, igualmente espaçados de pi/4, com ângulos
thetak = tfracpi6 + tfracpi k4, k=0,1,dots,7

Resposta

l,e^,il(tfracpi6 + tfracpi k4r) : k=0,1,dots,7r,
isto é, os pontos no círculo unitário cujos argumentos são
tfracpi6,,tfrac3pi12,,tfrac5pi12,,dots,,tfrac13pi6, equivalentes a
30^circ,75^circ,120^circ,165^circ,210^circ,255^circ,300^circ,345^circ.

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