Trace o campo vetorial e conjecture onde div F>0 e onde div F<0. A seguir, calcule div F para verificar sua conjectura.
21. F(x, y)=lang<= x y, x+y^2rang<=

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial
F(x,y)=lang<= xy,;x+y^2rang<=, conjecturar onde divF>0 e onde divF<0, e em seguida calcular divF para verificar a conjectura. O conteúdo aqui é o operador divergência em R^2, definido por
divF =partial F1partial x+partial F2partial y

Passo 2

Para ter intuição gráfica, escolhemos alguns pontos:
Em qualquer ponto (x,1) com y=1, a componente horizontal é F1= xcdot1=x e a vertical é F2=x+1. Ao deslocar-se ligeiramente para a direita, x aumenta, então F1 cresce; ao deslocar para cima, mantém-se x fixo, mas y^2 aumenta, então F2 também cresce. Isso sugere que, para y>0, os vetores ficam maiores ao redor do ponto, indicando fluxo saindo (divergência positiva).
Em qualquer ponto (x,-1) com y=-1, a componente horizontal F1=xcdot(-1)=-x inverte sinal e a vertical é F2=x+1; ao deslocar-se, observa-se contração do campo, sugerindo fluxo entrando (divergência negativa).
Portanto, conjecturamos
divF>0se y>0, divF<0se y<0

Passo 3

Agora calculamos de fato a divergência:
partialpartial x(xy)=y, partialpartial y(x+y^2)=2y,
logo
divF =y+2y =3y

Passo 4

Como divF=3y, concluímos que ela é positiva quando y>0, negativa quando y<0 e nula na reta y=0, em total acordo com a nossa conjectura.

Resposta

divF(x,y)=3y,
Logo divF>0 para y>0 e divF<0 para y<0.

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