Trace o campo vetorial e conjecture onde
e onde
. A seguir, calcule div
para verificar sua conjectura.
21.
21.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo vetorial
, conjecturar onde
e onde
, e em seguida calcular
para verificar a conjectura. O conteúdo aqui é o operador divergência em
, definido por
Passo 2
Para ter intuição gráfica, escolhemos alguns pontos:
Em qualquer ponto com
, a componente horizontal é
e a vertical é
. Ao deslocar-se ligeiramente para a direita,
aumenta, então
cresce; ao deslocar para cima, mantém-se
fixo, mas
aumenta, então
também cresce. Isso sugere que, para
, os vetores ficam maiores ao redor do ponto, indicando fluxo saindo (divergência positiva).
Em qualquer ponto com
, a componente horizontal
inverte sinal e a vertical é
; ao deslocar-se, observa-se contração do campo, sugerindo fluxo entrando (divergência negativa).
Portanto, conjecturamos
Em qualquer ponto
Em qualquer ponto
Portanto, conjecturamos
Passo 3
Agora calculamos de fato a divergência:
logo
Passo 4
Como
, concluímos que ela é positiva quando
, negativa quando
e nula na reta
, em total acordo com a nossa conjectura.
Resposta
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