Dado um número complexo z in C, para um certo k in N seja w=1+z+z^2+cdots+z^k. Obtenha uma expressão para z w e para w-z w. Use que w-z w=w(1-z) e obtenha uma expressão para w sem usar reticências.
Use esta ideia para calcular:
1+(1+i)+(1+i)^2+cdots+(1+i)^7

Passo 1

O enunciado pede a soma da série geométrica finita
w = 1 + z + z^2 + cdots + z^k
para zinC e kinN, obtendo uma expressão fechada sem reticências usando a relação
w - z,w = w(1-z)
Em seguida, aplicar esse resultado ao caso z=1+i e k=7 para calcular
1 + (1+i) + (1+i)^2 + cdots + (1+i)^7

Passo 2

Para achar uma fórmula para w, multiplica-se a soma por z:
z,w = z + z^2 + cdots + z^k+1
Subtraindo dessa expressão a soma original w, vem
w - z,w = (1 + z + cdots + z^k) - (z + z^2 + cdots + z^k+1) = 1 - z^k+1
Como w - z,w = w(1-z), temos
w(1-z) = 1 - z^k+1 Longrightarrow w = 1 - z^k+11 - z, zneq 1

Passo 3

Agora coloque z = 1+i e k=7. A soma procurada é
w = 1 + (1+i) + (1+i)^2 + cdots + (1+i)^7 = 1 - (1+i)^81 - (1+i)
Note que
1 - (1+i) = -,i,
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w = 1 - (1+i)^8-i = (1+i)^8 - 1i

Passo 4

Para calcular (1+i)^8, use a forma polar de 1+i = raiz2,e^ipi/4:
(1+i)^8 = (raiz2)^8 ,e^i,8cdotpi/4 = 16,e^i2pi = 16
Substituindo:
w = 16 - 1i = 15i = -,15,i

Resposta

-15,i

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