Dado um número complexo z in C, para um certo k in N seja w=1+z+z^2+cdots+z^k. Obtenha uma expressão para z w e para w-z w. Use que w-z w=w(1-z) e obtenha uma expressão para w sem usar reticências.
Use esta ideia para calcular:
1+(1-i)+(1-i)^2+cdots+(1-i)^5

Passo 1

O enunciado pede a soma de potências de um número complexo: para z∈ℂ e k∈ℕ definimos
w=1+z+z^2+cdots+z^k
Precisamos achar expressões para z·w e para w–z·w, deduzir a fórmula fechada de w (sem reticências) e, em seguida, aplicar ao caso z=1–i com k=5.

Passo 2

Começamos calculando z·w por definição de w como soma:
z,w=zsumn=0^k z^n=sumn=0^k z^n+1=sumn=1^k+1z^n
Então
w - z,w=sumn=0^k z^n - sumn=1^k+1z^n=1 - z^k+1

Passo 3

Agrupando w–z·w em fator comum w temos
w(1-z)=1 - z^k+1
Como z≠1, basta isolar w para obter a soma fechada:
w=1 - z^k+11 - z

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso z=1-i e k=5. Temos
w=1+(1-i)+cdots+(1-i)^5=1-(1-i)^61-(1-i)

Passo 5

Para calcular (1–i)^6, usamos forma polar:
|1–i|=√2 e arg(1–i)=−π/4, então

Passo 6

Substituindo em w:
w=1-8i1-(1-i)=1-8ii
Dividindo por i (lembrando que 1/i=-i) resulta
w=-8 - i

Resposta

-8 - i

Exercícios relacionados