Dado um número complexo
, para um certo
seja
. Obtenha uma expressão para
e para
. Use que
e obtenha uma expressão para
sem usar reticências.
Use esta ideia para calcular:
Use esta ideia para calcular:
Passo 1
O enunciado pede a soma de potências de um número complexo: para z∈ℂ e k∈ℕ definimos
Precisamos achar expressões para z·w e para w–z·w, deduzir a fórmula fechada de w (sem reticências) e, em seguida, aplicar ao caso z=1–i com k=5.
Passo 2
Começamos calculando z·w por definição de w como soma:
Então
Passo 3
Agrupando w–z·w em fator comum w temos
Como z≠1, basta isolar w para obter a soma fechada:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao caso z=1-i e k=5. Temos
Passo 5
Para calcular (1–i)^6, usamos forma polar:
|1–i|=√2 e arg(1–i)=−π/4, então
|1–i|=√2 e arg(1–i)=−π/4, então
Passo 6
Substituindo em w:
Dividindo por i (lembrando que 1/i=-i) resulta
Resposta
-8 - i