Calcule todas as raízes e identifique-as no plano complexo:
(8 i)^13

Passo 1

O enunciado pede calcular as raízes cúbicas de (8i) e representá-las no plano complexo.
O conteúdo necessário é radiciação de números complexos via forma polar e a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Calculamos o módulo de (8i):
|8i| = 8
e o argumento principal:
arg(8i) = pi2

Passo 3

Pela fórmula das raízes n-ésimas, as raízes de (8i)^13 são
rhok ;=; 8^13exp!l(ipi2+2kpi3r), k=0,1,2
Como 8^13=2, fica
rhok = 2exp!l(il(tfracpi6 + tfrac2kpi3r)r)

Passo 4

Calculamos para cada k:
Para k=0: ângulo tfracpi6
rho0 = 2l(costfracpi6 + isintfracpi6r) = 2l(tfracraiz32 + itfrac12r) = raiz3 + i
Para k=1: ângulo tfracpi6 + tfrac2pi3 = tfrac5pi6
rho1 = 2l(costfrac5pi6 + isintfrac5pi6r) = 2l(-tfracraiz32 + itfrac12r) = -raiz3 + i
Para k=2: ângulo tfracpi6 + tfrac4pi3 = tfrac3pi2
rho2 = 2l(costfrac3pi2 + isintfrac3pi2r) = 2(0 - i) = -2i

Passo 5

No plano complexo, os pontos correspondem a:
raiz3 + i em (raiz3,1),
-raiz3 + i em (-raiz3,1),
-2i em (0,-2).

Resposta

raiz3 + i, -raiz3 + i, -2i

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