Encontrar a diferencial da função no ponto . Determinar uma boa aproximação para o acréscimo ou decréscimo da variável dependente, , quando passa de para . Calcular o erro cometido.
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar a diferencial da função $ z = x^{2} + y^{2} - xy $ no ponto . Além disso, devemos determinar uma boa aproximação para o acréscimo ou decréscimo da variável dependente, $ \Delta z $, quando o ponto passa de para . Por fim, é necessário calcular o erro cometido nessa aproximação. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e diferenciais, que nos ajudam a entender como pequenas mudanças nas variáveis influenciam a função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais indicam como $ z $ varia quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
partial zpartial y |(1,1) = 2(1) - 1 = 1
Passo 4
A diferencial $ dz $ da função $ z $ em torno do ponto dz pode ser aproximada por:
z
Onde $ \Delta x = 1.001 - 1 = 0.001 $ e $ \Delta y = 1.02 - 1 = 0.02 $.
Substituindo os valores:
(1, 1)
Passo 5
A aproximação para $ \Delta z $ é $ dz = 0.021 $.
Agora, vamos calcular o valor real de $ \Delta z $: