Encontrar a diferencial da função z=x^2+y^2-x y no ponto (1,1). Determinar uma boa aproximação para o acréscimo ou decréscimo da variável dependente, De, quando (x, y) passa de (1,1) para (1.001,1.02). Calcular o erro cometido.

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar a diferencial da função $ z = x^{2} + y^{2} - xy $ no ponto z = x^2 + y^2 - xy . Além disso, devemos determinar uma boa aproximação para o acréscimo ou decréscimo da variável dependente, $ \Delta z $, quando o ponto (1, 1) passa de De para (x, y). Por fim, é necessário calcular o erro cometido nessa aproximação. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e diferenciais, que nos ajudam a entender como pequenas mudanças nas variáveis influenciam a função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais indicam como $ z $ varia quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
z
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (1, 1):
partial zpartial x |(1,1) = 2(1) - 1 = 1
partial zpartial y |(1,1) = 2(1) - 1 = 1

Passo 4

A diferencial $ dz $ da função $ z $ em torno do ponto dz pode ser aproximada por:
z
Onde $ \Delta x = 1.001 - 1 = 0.001 $ e $ \Delta y = 1.02 - 1 = 0.02 $.
Substituindo os valores:
(1, 1)

Passo 5

A aproximação para $ \Delta z $ é $ dz = 0.021 $.
Agora, vamos calcular o valor real de $ \Delta z $:
De
Calculando cada parte:
dz = 0.021
De
Então:
De
Por fim, calculamos o erro da aproximação:
z(1.001, 1.02) = (1.001)^2 + (1.02)^2 - (1.001)(1.02) = 1.002001 + 1.0404 - 1.02102 = 1.021381

Resposta

A diferencial é $ dz = 0.021 $, a boa aproximação para $ \Delta z $ é 0.021 e o erro cometido na aproximação é 0.000381.

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