calcule todas as raízes do número complexo e faça representação gráfica raiz[3]-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as raízes cúbicas do número complexo -1 e fazer a representação gráfica delas. Para isso, vamos trabalhar com números complexos e aprender a encontrar as raízes usando a forma trigonométrica. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes cúbicas de -1. Basicamente, estamos procurando todos os números complexos z que, elevados ao cubo, dão -1. Matematicamente, isso é:
z^3 = -1

Passo 3

Para resolver isso, precisamos usar a forma trigonométrica dos números complexos. Um número complexo pode ser escrito como:
z = r(cos theta + i sin theta)
onde r é o módulo (distância do ponto até a origem) e theta é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
No caso de -1, podemos representá-lo nessa forma. Sabemos que -1 está no eixo real negativo, a uma distância de 1 da origem. Então:
-1 = 1(cos pi + i sin pi)
Porque cos pi = -1 e sin pi = 0.

Passo 4

Agora, para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula de De Moivre, que nos ajuda a encontrar as raízes de um número complexo. A fórmula diz que as n-ésimas raízes de um número complexo r(cos theta + i sin theta) são dadas por:
zk = raiz[n]r [ cos ( theta + 2kpin ) + i sin ( theta + 2kpin ) ]
onde k = 0, 1, 2, ldots, n-1.
No nosso caso, n = 3, r = 1 e theta = pi. Vamos calcular para k = 0, 1, 2.
Para k = 0:
z0 = 1^1/3 [ cos ( pi + 03 ) + i sin ( pi + 03 ) ] = cos ( pi3 ) + i sin ( pi3 )
Sabendo que cos pi3 = 12 e sin pi3 = raiz32, temos:
z0 = 12 + i raiz32
Para k = 1:
z1 = 1^1/3 [ cos ( pi + 2pi3 ) + i sin ( pi + 2pi3 ) ] = cos ( pi ) + i sin ( pi )
Sabendo que cos pi = -1 e sin pi = 0, temos:
z1 = -1 + i cdot 0 = -1
Para k = 2:
z2 = 1^1/3 [ cos ( pi + 4pi3 ) + i sin ( pi + 4pi3 ) ] = cos ( 5pi3 ) + i sin ( 5pi3 )
Sabendo que cos 5pi3 = 12 e sin 5pi3 = -raiz32, temos:
z2 = 12 - i raiz32

Passo 5

Com as três raízes encontradas, podemos representá-las graficamente no plano complexo. Imagine um círculo de raio 1 (pois todas as raízes têm módulo 1) no plano onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.
  • z0 = 12 + i raiz32 está localizado no primeiro quadrante, a 60° do eixo real positivo.
  • z1 = -1 está localizado no eixo real negativo.
  • z2 = 12 - i raiz32 está no quarto quadrante, a 60° abaixo do eixo real positivo.
Esses pontos formam os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.

Resposta

As raízes cúbicas de -1 são:
z0 = 12 + i raiz32, z1 = -1, z2 = 12 - i raiz32

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