calcule todas as raízes do número complexo e faça representação gráfica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as raízes cúbicas do número complexo
e fazer a representação gráfica delas. Para isso, vamos trabalhar com números complexos e aprender a encontrar as raízes usando a forma trigonométrica. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vamos explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes cúbicas de
. Basicamente, estamos procurando todos os números complexos
que, elevados ao cubo, dão
. Matematicamente, isso é:
Passo 3
Para resolver isso, precisamos usar a forma trigonométrica dos números complexos. Um número complexo pode ser escrito como:
onde
é o módulo (distância do ponto até a origem) e
é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
No caso de
, podemos representá-lo nessa forma. Sabemos que
está no eixo real negativo, a uma distância de 1 da origem. Então:
Porque
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula de De Moivre, que nos ajuda a encontrar as raízes de um número complexo. A fórmula diz que as
-ésimas raízes de um número complexo
são dadas por:
onde
.
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular para
.
Para
:
Sabendo que
e
, temos:
Para
:
Sabendo que
e
, temos:
Para
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 5
Com as três raízes encontradas, podemos representá-las graficamente no plano complexo. Imagine um círculo de raio 1 (pois todas as raízes têm módulo 1) no plano onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical representa a parte imaginária.
-
está localizado no primeiro quadrante, a 60° do eixo real positivo. -
está localizado no eixo real negativo. -
está no quarto quadrante, a 60° abaixo do eixo real positivo.
Esses pontos formam os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.
Resposta
As raízes cúbicas de
são: