Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
56 x+72 y=120
56 x+72 y=120
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diofantina linear
isto é, encontrar todos os pares inteiros
que satisfaçam essa relação. Vamos usar o algoritmo de Euclides para achar o
de
e
, verificar existência de solução e então obter a solução geral.
Passo 2
Calculamos o
pelo algoritmo de Euclides:
logo
. Como
divide
(pois
), a equação tem solução inteira.
Passo 3
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Passo 4
Buscamos uma solução particular de
Reduzimos módulo
:
e como
, temos
, ou seja
. O inverso de
em
é
, pois
. Assim
Tomando
, calculamos
Logo
é uma solução particular.
Passo 5
A solução geral de
é dada por
Voltando à escala original (já que dividimos por
), a forma não se altera nos coeficientes de
. Portanto, a solução geral da equação original é
Resposta
Todas as soluções inteiras de
são