Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
56 x+72 y=120

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diofantina linear
56x + 72y = 120
isto é, encontrar todos os pares inteiros (x,y) que satisfaçam essa relação. Vamos usar o algoritmo de Euclides para achar o \gcd de 56 e 72, verificar existência de solução e então obter a solução geral.

Passo 2

Calculamos o \gcd(56,72) pelo algoritmo de Euclides:
72 = 56 \cdot 1 + 16,\\\\ 56 = 16 \cdot 3 + 8,\\\\ 16 = 8 \cdot 2 + 0,
logo \gcd(56,72)=8. Como 8 divide 120 (pois 120/8=15), a equação tem solução inteira.

Passo 3

Dividimos toda a equação por 8 para simplificar:
\frac{56}{8}x + \frac{72}{8}y = \frac{120}{8} \quad\Longrightarrow\quad 7x + 9y = 15.

Passo 4

Buscamos uma solução particular de
7x + 9y = 15.
Reduzimos módulo 9:
7x \equiv 15 \pmod{9},
e como 7\equiv -2\pmod{9}, temos -2x\equiv 15\pmod{9}, ou seja 7x\equiv15\pmod9. O inverso de 7 em \mathbb{Z}_9 é 4, pois 7\cdot4=28\equiv1\pmod9. Assim
x \equiv 4\cdot15 = 60 \equiv 6 \pmod{9}.
Tomando x_0=6, calculamos
y_0 = \frac{15 - 7\cdot6}{9} = \frac{15-42}{9} = -3.
Logo (x_0,y_0)=(6,-3) é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral de 7x+9y=15 é dada por
x = x_0 + 9t,\quad y = y_0 - 7t,\quad t\in\mathbb{Z}.
Voltando à escala original (já que dividimos por 8), a forma não se altera nos coeficientes de t. Portanto, a solução geral da equação original é
x = 6 + 9t,\quad y = -3 - 7t,\quad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

Todas as soluções inteiras de 56x+72y=120 são
\bigl(x,y\bigr) = \bigl(6 + 9t,\,-3 - 7t\bigr), \quad t\in\mathbb{Z}.

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