Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
54 x+21 y=906
54 x+21 y=906
Passo 1
O enunciado pede todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
Para resolver, vamos usar o conceito de máximo divisor comum (mdc) e o algoritmo de Euclides estendido, que nos permite encontrar uma solução particular e depois a família de soluções gerais.
Passo 2
Calculamos primeiro
com o algoritmo de Euclides:
Logo
. Como
divide
(pois
), sabemos que existem soluções inteiras.
Passo 3
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Agora aplicamos o algoritmo de Euclides estendido para
:
Retrosubstituindo para expressar
como combinação linear de
e
:
Multiplicando essa combinação por
, obtemos uma solução particular de
:
Passo 4
A família de soluções da equação simplificada é
Para ter números menores, escolhemos
, o que dá
Portanto, as soluções inteiras da equação original são