Calcule todas as soluções inteiras de cada uma das seguintes equações diofantinas lineares, caso existam:
54 x+21 y=906

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
54x + 21y = 906.
Para resolver, vamos usar o conceito de máximo divisor comum (mdc) e o algoritmo de Euclides estendido, que nos permite encontrar uma solução particular e depois a família de soluções gerais.

Passo 2

Calculamos primeiro d = \gcd(54,21) com o algoritmo de Euclides:
54 = 21 \cdot 2 + 12,\quad 21 = 12 \cdot 1 + 9,\quad 12 = 9 \cdot 1 + 3,\quad 9 = 3 \cdot 3 + 0.
Logo d = 3. Como 3 divide 906 (pois 906/3 = 302), sabemos que existem soluções inteiras.

Passo 3

Dividimos toda a equação por 3 para simplificar:
18x + 7y = 302.
Agora aplicamos o algoritmo de Euclides estendido para \gcd(18,7)=1:
18 = 7\cdot2 + 4,\quad 7 = 4\cdot1 + 3,\quad 4 = 3\cdot1 + 1,\quad 3 = 1\cdot3 + 0.
Retrosubstituindo para expressar 1 como combinação linear de 18 e 7:
1 = 4 - 3\cdot1 = 4 - (7 - 4\cdot1) = 2\cdot4 - 7 = 2\cdot(18 - 7\cdot2) - 7 = 2\cdot18 - 5\cdot7.
Multiplicando essa combinação por 302, obtemos uma solução particular de 18x + 7y = 302:
x_0 = 2\cdot302 = 604,\quad y_0 = -5\cdot302 = -1510.

Passo 4

A família de soluções da equação simplificada é
x = x_0 + 7k = 604 + 7k,\quad y = y_0 - 18k = -1510 - 18k, \quad k\in\mathbb{Z}.
Para ter números menores, escolhemos k=-86, o que dá
x = 604 - 602 = 2,\quad y = -1510 + 1548 = 38.
Portanto, as soluções inteiras da equação original são
x = 2 + 7k,\quad y = 38 - 18k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\bigl\{(x,y)\in\mathbb{Z}^2 : x = 2 + 7k,\;y = 38 - 18k,\;k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

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