Mostre que o conjunto a seguir é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, y=-x\right\}
Passo 1
O enunciado define o conjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \;\bigg|\; y = -x\right\}.
Queremos mostrar que W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos verificar três propriedades: (i) a matriz zero pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz a condição y=-x (pois 0 = -0), logo 0\in W.
Agora, sejam
A = \begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\[3pt]z_{1} & t_{1}\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\[3pt]z_{2} & t_{2}\end{pmatrix}