Mostre que o conjunto a seguir é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, y=-x\right\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \left\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) \;\bigg|\; y = -x\right\}.
Queremos mostrar que W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos verificar três propriedades: (i) a matriz zero pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz a condição y=-x (pois 0 = -0), logo 0\in W.
Agora, sejam
A = \begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\[3pt]z_{1} & t_{1}\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\[3pt]z_{2} & t_{2}\end{pmatrix}
em W. Então y_{1}=-x_{1} e y_{2}=-x_{2}. A soma é
A+B = \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} & y_{1}+y_{2}\\[3pt] z_{1}+z_{2} & t_{1}+t_{2} \end{pmatrix}.
O elemento acima da diagonal satisfaz
y_{1}+y_{2} = (-x_{1}) + (-x_{2}) = -(x_{1}+x_{2}),
logo A+B também obedece à condição y= -x e, portanto, A+B\in W.]

Passo 3

Seja \lambda\in\mathbb{R} e
A = \begin{pmatrix}x & y\\[3pt]z & t\end{pmatrix}\in W,
isto é, y=-x. Então
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda x & \lambda y\\[3pt]\lambda z & \lambda t\end{pmatrix}
e o elemento acima da diagonal vale
\lambda y = \lambda(-x) = -(\lambda x).
Logo \lambda A também satisfaz a condição y=-x e \lambda A\in W.]

Resposta

Como 0\in W, W é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, conclui-se que W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).

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