Seja
o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo
. Mostre que os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções contínuas em
e o subconjunto
isto é, o conjunto das funções contínuas ímpares. Queremos mostrar que
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos verificar três propriedades: (1)
, (2) fechamento em soma, (3) fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio. Considere a função zero
Ela é contínua e satisfaz
portanto
. Logo
.
Passo 3
Fechamento em soma. Sejam
. Então, para todo
, temos
Além disso,
é contínua. Logo
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar. Seja
e
. Então, para todo
,
E
é contínua. Assim
.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três condições de subespaço vetorial em
e, consequentemente, é um subespaço vetorial de
.