Seja C([-1,1]) o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [-1,1]. Mostre que os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais de C([-1,1]).
W=\{f \in C(I) \mid f(t)=-f(-t), \forall t \in I\}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial C([-1,1]) das funções contínuas em [-1,1] e o subconjunto
W = \{\,f\in C([-1,1]) \mid f(t) = -f(-t)\text{ para todo }t\in[-1,1]\},
isto é, o conjunto das funções contínuas ímpares. Queremos mostrar que W é subespaço vetorial de C([-1,1]). Para isso, vamos verificar três propriedades: (1) W\neq\varnothing, (2) fechamento em soma, (3) fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio. Considere a função zero
0(t) = 0,\quad t\in[-1,1].
Ela é contínua e satisfaz
0(t) = 0 = -0 = -\,0(-t),
portanto 0\in W. Logo W\neq\varnothing.

Passo 3

Fechamento em soma. Sejam f,g\in W. Então, para todo t\in[-1,1], temos
(f+g)(t) \;=\; f(t)+g(t) \;=\;-\,f(-t)\;-\;g(-t) \;=\;-\,\bigl(f(-t)+g(-t)\bigr) \;=\;-\,(f+g)(-t).
Além disso, f+g é contínua. Logo f+g\in W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar. Seja f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então, para todo t\in[-1,1],
(\alpha f)(t) \;=\;\alpha\,f(t) \;=\;\alpha\bigl(-f(-t)\bigr) \;=\;-\,\bigl(\alpha\,f(-t)\bigr) \;=\;-(\alpha f)(-t).
E \alpha f é contínua. Assim \alpha f\in W.

Resposta

Portanto, W satisfaz as três condições de subespaço vetorial em C([-1,1]) e, consequentemente, é um subespaço vetorial de C([-1,1]).

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