Calcule todos os funcionais lineares de Z^3. Qual a dimensão do espaço dos funcionais lineares sobre Z^3 ?

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar todos os homomorfismos de módulos (funcionais lineares) de Z^3 em Z e determinar a dimensão (rank) do módulo formado por esses functionais. O conteúdo envolvido é módulo livre, base canônica e a propriedade de que um homomorfismo de um módulo livre fica determinado pelos valores em uma base.

Passo 2

Sabendo que Z^3 é um módulo livre de rank 3 com base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1), qualquer funcional linear f:Z^3toZ fica totalmente determinado pelos valores a=f(e1), b=f(e2) e c=f(e3).

Passo 3

Para um vetor qualquer (x,y,z)inZ^3, usamos a linearidade para escrever
f(x,y,z)=x,f(e1)+y,f(e2)+z,f(e3)=ax+by+cz
Isso mostra que todo funcional é da forma f(x,y,z)=ax+by+cz com a,b,cinZ.

Passo 4

Portanto o espaço de todos os funcionais lineares HomZ(Z^3,Z) é isomorfo a Z^3 via fmapsto(a,b,c). Como Z^3 é livre de rank 3, concluímos que a dimensão (rank) desse espaço de funcionais é 3.

Resposta

Os funcionais lineares de Z^3 são exatamente as aplicações f(x,y,z)=ax+by+cz com a,b,cinZ, e o espaço desses funcionais é isomorfo a Z^3, tendo dimensão 3.

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