Calcule todos os funcionais lineares de
. Qual a dimensão do espaço dos funcionais lineares sobre
?
Passo 1
Neste exercício queremos encontrar todos os homomorfismos de módulos (funcionais lineares) de
em
e determinar a dimensão (rank) do módulo formado por esses functionais. O conteúdo envolvido é módulo livre, base canônica e a propriedade de que um homomorfismo de um módulo livre fica determinado pelos valores em uma base.
Passo 2
Sabendo que
é um módulo livre de rank 3 com base canônica
,
e
, qualquer funcional linear
fica totalmente determinado pelos valores
,
e
.
Passo 3
Para um vetor qualquer
, usamos a linearidade para escrever
Isso mostra que todo funcional é da forma
Passo 4
Portanto o espaço de todos os funcionais lineares
é isomorfo a
via
. Como
é livre de rank 3, concluímos que a dimensão (rank) desse espaço de funcionais é 3.
Resposta
Os funcionais lineares de
são exatamente as aplicações
com
, e o espaço desses funcionais é isomorfo a
, tendo dimensão 3.