Seja
, e seja
o subespaço de
tal que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
e o subespaço
Queremos mostrar que
coincide com o núcleo de
, isto é,
. Para isso vamos usar a propriedade fundamental do espaço dual: se
em
, existe
com
.
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que
. Se
, então
. Como todo funcional linear
satisfaz
, temos
para todo
. Logo
.
Passo 3
Agora mostramos que
. Seja
. Se, por absurdo,
, pela propriedade do dual existe um funcional
tal que
. Mas isso contradiz a definição de
, que exige
para todo
. Logo não pode acontecer
, i.e., necessariamente
e, portanto,
.
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões
e
, concluímos que
Resposta
L = ker(T)