Seja T in L(V), e seja L subset V o subespaço de V tal que L=v: f(T(v)=0, forall f in L=ker(T). Prove que .

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:Vto V e o subespaço
L = vin V : f(T(v))=0, forall fin V^*
Queremos mostrar que L coincide com o núcleo de T, isto é, ker(T)=v:T(v)=0. Para isso vamos usar a propriedade fundamental do espaço dual: se xneq0 em V, existe fin V^* com f(x)neq0.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que ker(T)subseteq L. Se vinker(T), então T(v)=0. Como todo funcional linear f satisfaz f(0)=0, temos f(T(v))=f(0)=0 para todo fin V^*. Logo vin L.

Passo 3

Agora mostramos que Lsubseteqker(T). Seja vin L. Se, por absurdo, T(v)neq0, pela propriedade do dual existe um funcional fin V^* tal que f(T(v))neq0. Mas isso contradiz a definição de L, que exige f(T(v))=0 para todo f. Logo não pode acontecer T(v)neq0, i.e., necessariamente T(v)=0 e, portanto, vinker(T).

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões ker(T)subseteq L e Lsubseteqker(T), concluímos que
L = ker(T)

Resposta

L = ker(T)

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