Dado alpha um funcional linear não-nulo num espaço vetorial V de dimensão n. Prove que C=x: alpha(x)=0 é um espaço vetorial. Qual a dimensão de C ?

Passo 1

A questão pede para mostrar que, dado um funcional linear não-nulo alpha:Vto F num espaço vetorial V de dimensão n, o conjunto C=xin V:alpha(x)=0 é um subespaço de V e determinar dim C. Vamos usar teste de subespaço e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade).

Passo 2

Para provar que C é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. Vetor zero: como alpha(0)=0 pela linearidade, temos 0in C.
  2. Fechamento sob soma: se x,yin C, então alpha(x+y)=alpha(x)+alpha(y)=0+0=0, logo x+yin C.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se xin C e lambdain F, então alpha(lambda x)=lambdaalpha(x)=lambdacdot 0=0, logo lambda xin C.
    Assim, por teste de subespaço, C é subespaço de V.

Passo 3

Agora usamos o Teorema do Núcleo e Imagem (Posto-Nulidade): para qualquer aplicação linear alpha:Vto F vale
dim V = dim(keralpha) + dim(Im,alpha)
Como alpha é não-nula e seu contradomínio é o corpo F, temos dim(Im,alpha)=1. Então

Passo 4

daqui segue que
n = dim V = dim(keralpha) + 1
Portanto,
dim(keralpha)=n-1
Mas C=keralpha, logo dim C=n-1.

Resposta

O conjunto C é um subespaço de V e tem dimensão n-1.

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