Dado
um funcional linear não-nulo num espaço vetorial
de dimensão
. Prove que
é um espaço vetorial. Qual a dimensão de
?
Passo 1
A questão pede para mostrar que, dado um funcional linear não-nulo
num espaço vetorial
de dimensão
, o conjunto
é um subespaço de
e determinar
. Vamos usar teste de subespaço e o Teorema do Núcleo e Imagem (posto-nulidade).
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
- Vetor zero: como
pela linearidade, temos . - Fechamento sob soma: se
, então , logo . - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e , então , logo .
Assim, por teste de subespaço,é subespaço de .
Passo 3
Agora usamos o Teorema do Núcleo e Imagem (Posto-Nulidade): para qualquer aplicação linear
vale
Como
é não-nula e seu contradomínio é o corpo
, temos
. Então
Passo 4
daqui segue que
Portanto,
Mas
, logo
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e tem dimensão
.