Prove que cccos theta & -sen theta sen theta & cos theta é uma matriz ortogonal, isto é, A^t= A^-1.

Passo 1

A matriz em questão é
A = costheta & -sintheta sintheta & costheta
O conteúdo é ortogonalidade de matrizes: queremos provar que A^t = A^-1.

Passo 2

Matriz ortogonal é definida por
A^t A = I,
o que, quando A é invertível, equivale a
A^t = A^-1
Aqui vamos usar esse critério.

Passo 3

Primeiro, calculamos a transposta de A:
A^t = costheta & sintheta -sintheta & costheta

Passo 4

Agora, calculamos a inversa de A usando a fórmula para matrizes 2×2. O determinante de A é
det(A) = cos^2theta + sin^2theta = 1
Logo,
A^-1 = 1det(A) costheta & sintheta -sintheta & costheta = costheta & sintheta -sintheta & costheta

Passo 5

Comparando, vemos que
A^t = costheta & sintheta -sintheta & costheta = A^-1
Portanto, A^t = A^-1 e A é de fato ortogonal.

Resposta

A^t = A^-1, logo a matriz é ortogonal.

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