Seja T a função de R^3 em R^3 definida por:
T
a Verifique que T é uma transformação linear
b Determine a imagem de T
c Determine o posto de

Passo 1

Neste exercício temos a função linear T:R^3toR^3 dada por T(x1,x2,x3)=(x1 - x2 + 2x3,;2x1 + x2,;-x1 - 2x2 + 2x3). O conteúdo é transformação linear, imagem e posto; vamos usar a definição de linearidade, calcular a imagem via colunas da matriz associada e contar vetores independentes para o posto.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos as duas propriedades:
  1. Aditividade: seja u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3). Então

Passo 3

Para achar a imagem, calculamos T(e1),T(e2),T(e3), onde
e1=(1,0,0), ;T(e1)=(1,2,-1),
e2=(0,1,0), ;T(e2)=(-1,1,-2),
e3=(0,0,1), ;T(e3)=(2,0,2)
Portanto
Im(T)=span(1,2,-1),(-1,1,-2),(2,0,2)

Passo 4

Para simplificar essa base, fazemos operações na matriz cujas colunas são esses vetores e vemos que só há dois pivôs, logo só dois vetores são independentes. Uma forma equivalente de descrever o plano imagem é encontrar a relação entre coordenadas (y1,y2,y3)inIm(T). Como o vetor normal ao plano gerado por (1,2,-1) e (-1,1,-2) é (-3,3,3), temos
-3y1+3y2+3y3=0
ou seja
y1=y2+y3

Passo 5

O posto de T é o número de vetores independentes na imagem, que vimos ser 2. Assim, rank(T)=2

Resposta

a) T é linear pois satisfaz aditividade e homogeneidade. b) Im(T)={(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3:y_1=y_2+y_3}=\mathrm{span}{(1,2,-1),(-1,1,-2)}. c) posto(T)=2.

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