Seja
a função de
em
definida por:
a Verifique que
é uma transformação linear
b Determine a imagem de
c Determine o posto de
a Verifique que
b Determine a imagem de
c Determine o posto de
Passo 1
Neste exercício temos a função linear
dada por
. O conteúdo é transformação linear, imagem e posto; vamos usar a definição de linearidade, calcular a imagem via colunas da matriz associada e contar vetores independentes para o posto.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, verificamos as duas propriedades:
- Aditividade: seja
e . Então
Passo 3
Para achar a imagem, calculamos
, onde
Portanto
Passo 4
Para simplificar essa base, fazemos operações na matriz cujas colunas são esses vetores e vemos que só há dois pivôs, logo só dois vetores são independentes. Uma forma equivalente de descrever o plano imagem é encontrar a relação entre coordenadas
. Como o vetor normal ao plano gerado por
e
é
, temos
ou seja
Passo 5
O posto de
é o número de vetores independentes na imagem, que vimos ser 2. Assim,
Resposta
a) T é linear pois satisfaz aditividade e homogeneidade. b) Im(T)={(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3:y_1=y_2+y_3}=\mathrm{span}{(1,2,-1),(-1,1,-2)}. c) posto(T)=2.